Задачи механики сплошной среды описываются системами дифференциальных уравнении с частными производными, для которых ставятся граничные и начальные условия - формулируются краевые задачи. Даже для уравнений, весьма схожих по форме записи, свойства решения могут существенно различаться. Поэтому особое внимание в теории уравнений с частными производными уделяется классификации - объединению их в типы или классы, внутри которых свойства решения и особенности постановки краевых задач являются сходными.

Рассмотрим классификацию на примере уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Уравнения такого вида стали изучаться при математическом описании ряда физических задач, и этот раздел математики стал называться математической физикой, а линейные уравнения второго порядка с частными производными - уравнениями математической физики. Отметим, что лишь в частных случаях задачи движения газа или жидкости или задачи теплопроводности приводятся к уравнению подобного вида. Однако даже на этом простейшем примере проявляются практически все особенности, присущие и более сложным задачам.

Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка (порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него старшей производной) с двумя независимыми переменными:

Если А, В, С - функции только х и у, а / - линейная функция своих аргументов и, ди/дх , ди/ду , то уравнение (1.1) является линейным. Для линейных уравнений развиты математические теории, позволяющие как делать общие качественные заключения о решении, так и строить методы решения. Во многих практических случаях оправданная система предположений и допущений позволяет привести математическую модель процесса к линейной системе или линейном}" уравнению. В частности, линейным уравнением вида (1.1) описываются потенциальное течение жидкости, стационарное двумерное температурное поле, распространение волны в упругой среде и многие другие физические задачи, и оно изучено наиболее подробно. Но в большинстве случаев практические задачи описываются нелинейными уравнениями, общая теория которых еще не создана.

Если нелинейность уравнения состоит лишь в том, что коэффициенты А, В, С зависят от неизвестного решения и и (или) его младших производных (в данном случае - первых производных), то такая нелинейность локально не слишком сильно сказывается на решении по сравнению с линейным случаем. Уравнения с нелинейностями такого вида называются квазилинейными. Часто для анализа квазилинейных уравнений применяют метод «замораживания» коэффициентов, сводящий задачу к линейному случаю. Такой подход используется как для качественного анализа решения, так и для построения численных алгоритмов решения. Заметим, что задачи аэрогазодинамики описываются системой квазилинейных уравнений.

Уравнение (1.1) можно привести к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем обозначения для первых производных от искомой функции по независимым переменным р = ди/дх и q = ди/ду и запишем рассматриваемое уравнение, используя эти обозначения. В результате придем к системе трех уравнений первого порядка для трех неизвестных функций ц, р и q :

Заметим, что обратное действие (приведение системы уравнений первого порядка к одному уравнению) выполнимо нс всегда.

Одним из важнейших понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными является понятие о характеристиках. Впервые оно появилось в работах Г. Монжа при изучении уравнений, описывающих форму поверхностей.

Рис. 1.1.

Для упрощения последующих выкладок введем следующие обозначения для вторых производных функции и :

Определим теперь задачу Коши для уравнения второго порядка. Пусть на линии у = у(х) заданы значения искомой функции и ее первых производных:

где а - естественная координата кривой. Поставим теперь следующую задачу: можно ли, зная значения функции и ее первых производных на кривой у(х), установить значения функции в точках, соседних с этой кривой? Поставленная задача называется задачей Коши для уравнения (1.1).

Для получения решения в точке Л/, соседней с кривой, можно воспользоваться разложением решения в ряд около некоторой точки О, лежащей на кривой задания начальных данных у(х). Такое разложение имеет вид

Заметим, что в этом разложении нельзя ограничиваться только линейными членами - обязательно присутствие вторых производных. Это связано с тем, что исходное дифференциальное уравнение накладывает связи именно на вторые производные. Если мы опустим их в разложении (1.2), то будет потеряно все физическое содержание рассматриваемого явления, в котором именно взаимосвязь вторых производных (своего рода «кривизн») определяет сущность описываемого процесса.

Использование данного выражения для получения решения в точке М связано с возможностью определения производных, в него входящих. Первые производные известны из начальных условий, заданных на кривой начальных данных. Вторые же необходимо каким- либо способом определить, после чего выражение (1.2) может быть использовано для получения решения в точке М. Можно показать, что после определения вторых производных высшие производные также могут быть вычислены, и таким образом будет решен вопрос о повышении точности выражения (1.2) за счет увеличения количества членов разложения.

Для определения вторых производных мы можем использовать данные, заданные на кривой. Приращения первых производных вдоль кривой запишутся следующим образом:

Заметим, что в этих выражениях dx и dy являются взаимосвязанными и их отношение определяется угловым коэффициентом кривой dy/dx = у"(х).

К этим двум выражениям, связывающим три неизвестные вторые производные, необходимо добавить исходное дифференциальное уравнение, что позволит получить линейную систему для значений вторых производных в точке М кривой у(х ):

Вопрос об определении вторых производных и, тем самым, о восстановлении решения в точках, прилежащих к кривой начальных данных, связан с возможностью решения линейной системы (1.3). Если определитель этой системы не равен нулю, то она имеет единственное решение, производные г, s, t и выражение (1.2) может использоваться для прогноза решения в точках области, лежащих вне линии начальных данных у = у(х).

В том же случае, когда определитель системы (1.3) обращается в ноль:

система линейных уравнений становится вырожденной, не допускающей определения вторых производных. Если решение найти не удастся, то принципиально нельзя будет сместиться от кривой начальных данных в соседние точки области.

Раскрывая определитель (1.4), получим условие обращения его в ноль:

которое можно записать в виде дифференциального уравнения в разрешенном относительно производной dy/dx виде:

Из этого соотношения видно, что исходная задача становится неразрешимой, если угловой коэффициент кривой принимает некоторое особое значение, выражаемое через коэффициенты исходного дифференциального уравнения. Это особое направление называется характеристическим , а кривая, касательная к которой в каждой точке принимает характеристическое направление, - характеристикой дифференциального уравнения с частными производными. Как видим, обыкновенное дифференциальное уравнение (1.5) определяет поле характеристических направлений, а его интеграл определяет характеристические линии.

Если эти кривые используются как линии задания начальных данных, то решение не может быть продолжено в соседние точки области, поэтому такие кривые имеют огромное значение при анализе свойств дифференциальных уравнений и при построении расчетных алгоритмов их решения.

В основу классификации уравнения (1.1) положено наличие у него характеристик. Как видно из (1.5), исходное уравнение в каждой точке области своего определения может иметь либо два характеристических направления, либо одно, либо вообще не иметь характеристик. Определяющим в этом вопросе является знак дискриминанта уравнения - подкоренного выражения В 2 - АС.

Если В 2 - АС эллиптическим, или принадлежит к эллиптическому типу.

Если В 2 - АС = О, то имеется одно семейство характеристик. В этом случае говорят, что уравнение (1.1) является параболическим. или принадлежит к параболическому типу.

Если В 2 - АС > 0, то имеются два различных семейства характеристик и уравнение (1.1) является гиперболическим или принадлежит к гиперболическому типу.

Так как тип уравнения связан со значениями коэффициентов дифференциального уравнения, то уравнение с переменными коэффициентами в разных частях области определения может принадлежать к различным типам. Такие уравнения называют уравнениями смешанного типа.

На первый взгляд представляется странным, почему для определения типа дифференциального уравнения используется терминология, относящаяся к коническим сечениям - алгебраическим кривым второго порядка: эллипсу, параболе и гиперболе. Связь состоит в том, что фундаментальную роль в теории уравнений вида (1.1) играет особым образом построенное алгебраическое выражение квадратичная форма, коэффициентами которой являются коэффициенты исходного уравнения. Для уравнения (1.1) она имеет вид Ах 2 +2Вху+Су 2 и может быть приведена к канонической форме, которая будет, в зависимости от значений коэффициентов, принимать вид эллипса, параболы или гиперболы, что и объясняет используемую терминологию.

Заметим, что для классификации мы использовали линейное уравнение второго порядка, однако характеристический анализ применяется и к другим уравнениям и системам.

Аналогичные соображения закладываются в основу классификации систем дифференциальных уравнений, которая строится на основе характеристических свойств - начПичия полного набора характеристик (гиперболические системы) или отсутствия действительных характеристик (эллиптические системы). Тип уравнения определяет общий характер его решения, зависимость решения от входных данных и, как следствие этого, методы получения численных решений краевых задач. В нашем курсе мы неоднократно будем возвращаться к анализу характеристических свойств изучаемых математических моделей механики сплошной среды.

Сделаем несколько замечаний, на которые мы не обращали внимание ранее.

Замечание 1. Инвариантность характеристических направлений. Можно доказать, что характеристики остаются инвариантными при преобразованиях независимых переменных. То есть характеристические направления не зависят от выбора системы координат, в которой мы записываем исходное уравнение, и от различных преобразований независимых переменных. Эти направления определяются только свойствами самого изучаемого явления, которое описывается своей математической моделью дифференциальным уравнением. В этом смысле характеристики определяют некоторые особые направления в пространстве - «собственные» направления данной задачи. Особо отметим, что определить характеристические направления удалось из анализа дифференциального уравнения. Поэтому получение характеристических направлений связано с записью математической модели в форме дифференциального уравнения (в дальнейшем мы увидим, что существуют и другие формы записи математических моделей, например в форме интегральных соотношений).

Замечание 2. Определение старших производных. В построенном нами примере для продолжения решения в точки, соседние с линией задания начальных данных, использовались производные до второго порядка включительно. Покажем, что если в качестве линии начальных данных используется нехарактеристическая кривая, го точность соотношения можно сколь угодно повышать, вычисляя старшие производные решения и таким образом продолжая ряд.

Для начала рассмотрим вопрос об определении третьих производных, которые обозначим соответственно Q = u xxx , R = u xxy , S = = и хуу, Т = и у уу . Так как, по условию, кривая не является характеристикой, то на основе предыдущего анализа на кривой начальных данных у(х) в дополнение к заданным из начальных условий значениям м, р, q вычислены и вторые производные г, .s, t. Поэтому для третьих производных можно выписать систему соотношений, определяющих их из дифференциалов вторых производных вдоль линии у(х) :

Добавив к этой системе исходное уравнение (1.1), продифференцированное по х , получим линейную систему

Легко убедиться, что она имеет то же условие невырожденности, что и система линейных уравнений при анализе характеристик.

Для этого при вычислении определителя матрицы проведем его разложение но элементам последнего столбца. Определитель третьего порядка, стоящий при единственном ненулевом элементе, будет совпадать с определителем матрицы в задаче анализа характеристик.

Таким образом, для любой нехарактеристической кривой третьи производные решения находятся из данных, заданных на этой кривой. Продолжая таким образом, можно находить следующие старшие члены разложения и тем самым повышать порядок точности представления решения.

Замечание 3. Условия совместности на характеристиках. В

том случае если для уравнения (1.1) определена характеристика, то на приращения производных от решения р, q вдоль кривой накладываются дополнительные условия. Действительно, равенство нулю определителя (1.4) означает линейную зависимость уравнений, входящих в (1.3). Из линейной алгебры известно, что для разрешимости вырожденной системы необходимо, чтобы ранг системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Другими словами, требуется, чтобы все определители третьего порядка расширенной матрицы

были равны нулю. Нетрудно показать, что эго условие, совместно с полученным ранее соотношением для характеристик (1-5), приводит к следующим двум условиям, которые должны выполняться вдоль характеристик:

Эти условия называются условиями на характеристиках или условиями coeAiecmnocmu. Они играют большую роль как при изучении качественных свойств решения, так и при построении алгоритмов численного решения задач.

1 1асто гиперболическую задачу удобно формулировать через набор ее характеристик и дифференциальные соотношения совместности, справедливые на этих характеристиках. Заметим, что в случае двух независимых переменных задача трансформируется в систему обыкновенных уравнений, определяющих характеристические кривые, и обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих условиям совместности.

Замечание 4. Физический смысл характеристик. В уравнениях, в которых в качестве независимых выступают пространственные переменные, характеристики определяют область влияния точек. Известные из газодинамики сверхзвуковых стационарных течений конус Маха и линия Маха относятся к такому кругу понятий.

Если в качестве одной из независимых переменных - переменной гиперболичности - выступает время, характеристики выражают конечность скорости распространения сигнала и управляют таким образом причинно-следственными отношениями в рассматриваемой системе. С характеристиками в этом случае тесно связана возможность распространения волн с конечной скоростью.

Приведем примеры дифференциальных уравнений различных типов.

Пр и м е р 1. Уравнение Пуассона }:

Если / = 0, то это уравнение называют уравнением Лапласа. Здесь А = С = 1, В = О, В 2 - АС = -1, т.е. это уравнение эллиптического типа, часто встречающееся в физических приложениях. Им описываются задачи потенциального движения жидкости, фильтрации в пористых телах, задачи магнито- и электростатики, стационарное распределение температур в теле, распределение напряжений в некоторых задачах линейной теории упругости и т. д.

Уравнению Лапласа эквивалентна следующая простейшая эллиптическая система Даламбера Эйлера (иногда эти уравнения называют уравнениями Коши Римана):

Уравнение Лапласа может быть распространено на случай трех (или более) независимых переменных:

1 Пуассон Симеон Дени (Poisson S.D., 1781-1840) - французский математик, физик и механик. Его работы сыграли важную роль в становлении современной науки: в теории вероятностей, математической физике, теории упругости и гидромеханике. Упомянутое уравнение было выведено Пуассоном при исследовании ряда задач теории гравитационного притяжения (мемуар «О притяжении сфероидов», 1835).

Дифференциальный оператор Д = д 2 /дх 2 + д 2 /ду 2 + д 2 /дг 2 называют оператором Лапласа.

Пример 2. Уравнение теплопроводности. Одномерное нестационарное температурное поле в среде с постоянными теплофизическими характеристиками описывается уравнением

в котором коэффициент температуропроводности а должен удовлетворять условию а > 0.

Здесь вместо переменной у введена переменная t - время, соответствующая физическому содержанию описываемых уравнением задач. Коэффициенты, входящие в уравнение, равны: А = 1, В = 0, С = 0, В 2 - АС = 0, т.е. эго уравнение параболического типа. Такими уравнениями описываются нестационарное распределение температур в задачах теплопроводности, диффузия инертной примеси, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости в пограничном слое тела и т. д.

II р и м е р 3. Волновое уравнение. Распространение плоской волны с постоянной скоростью со в изотропной среде описывается линейным одномерным волновым уравнением

в котором ось х соответствует направлению распространения волны.

Здесь А = Cq, С = 1, В = 0, это уравнение гиперболического типа. Примером простейшей гиперболической системы является эквивалентная (1.11) система

Уравнения такого типа описывают распространение колебаний в сплошных средах, электромагнитные колебания, сверхзвуковое течение идеального газа.

Приведенные выше примеры демонстрируют три основных типа уравнений математической физики. Различие в них связано с различием описываемых ими физических процессов. Уравнения параболического и гиперболического типов описывают неустановившийся процесс. Это означает, что на решение в момент времени t влияет состояние в предыдущие моменты времени, но никак не могут влиять последующие события. Уравнения гиперболического типа могут описывать и установившиеся процессы, в этом случае краевое условие влияет па решение только в одну сторону (по отношению к переменной, являющейся аналогом времени), а одна из пространственных координат является аналогом времени. Примером такой гиперболической задачи может служить сверхзвуковое, установившееся движение газа. Таким образом, параболические и гиперболические уравнения связаны с областями, «открытыми»в одном направлении, а соответствующая этому направлению независимая переменная является аналогом времени.

В случае же эллиптических задач на решение в некоторой точке области влияют краевые условия, заданные на всей замкнутой границе области.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Ранее рассматривались обыкновенные дифференциальные уравнения. Их решения зависят лишь от одной переменной: ,
и т. д. Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать частные производные искомых функций. Они называютсяуравнениями с частными производными .

К решению дифференциальных уравнений с частными производными приводят, например, многие задачи механики сплошных сред. Здесь в качестве искомых функций обычно служат плотность, температура, напряжение и др., аргументами которых являются координаты рассматриваемой точки пространства, а также время.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными.

Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t , то задаются некоторые условия (например, значения искомых параметров) в начальный момент, называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются.

Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются нестационарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

Таким образом, математические модели физических и иных процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Аргументами функций этих уравнений являются пространственные координаты
и время.

Уравнения первого порядка. Уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса. Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т. п.

Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция зависит от времении одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

.

Здесь ‑ скорость переноса.

Уравнения второго порядка. Линейным уравнением в частных производных второго порядка называется соотношение между функцией
или
и ее частными производными вида.

(1)

Если переменная функция зависит оти, то уравнение может быть записано следующим образом:

(2)

В случае если
, то уравнения 1-2 называются однородными, иначе ‑ неоднородными.

Если
, то уравнение (2) относится к классу эллиптических уравнений;

если
, то ‑ это гиперболическое уравнение;

если
‑ параболическое уравнение.

Когда
не имеет постоянного знака, получается уравнение смешанного типа.

К классическим эллиптическим уравнениям относятся:

Уравнение Лапласа
, которое используется для описания магнитных и стационарных тепловых полей;

Уравнение Пуассона
, которое применяется в электростатике, теории упругости и других науках;

Уравнение Гельмголъца
, описывающее установившиеся колебательные процессы.

Оператор Лапласа:

в одномерном случае
;

в двумерном случае
;

в трехмерном случае
.

Среди гиперболических уравнений можно выделить:

Волновые уравнения:

одномерное
, которое описывает вынужденные колебания струны;

двумерное
, которое описывает колебания мембраны.

Телеграфное уравнение , которое описывает изменение потенциалав линиях электропередачи. Здесь
- коэффициент самоиндукции, емкость, сопротивление, характеристика потерь на единицу длины линии.

К классическим параболическим уравнениям относится уравнение теплопроводности
.

Для нахождения единственного решения дифференциального уравнения в частных производных необходимо задать начальные и граничные условия. Начальными условиями принято называть условия, заданные в начальный момент времени . Граничные условия задаются при различных значениях пространственных переменных. Для эллиптических уравнений задаются только граничные условия, которые можно разделить на три класса:

Условие Дирихле
- в этом случае на границе области Г, в которой ищется решение, задана некая непрерывная функция. В одномерном случае это условие принимает вид:
и
где
- интервал, на котором ищется решение одномерной задачи;

Условие Неймана
- в этом случае на границе области Г задана производная по направлениювнешней нормали;

Смешанное условие
.

Для параболических уравнений, кроме граничных условий, необходимо определить одно начальное, которое может быть таким:
.

В случае гиперболических уравнений начальные условия могут быть следующими
и
.

Решение ряда дифференциальных уравнений в частных производных может быть получено аналитически. Одним из наиболее часто используемых методов является метод разделения переменных (метод Фурье). Рассмотрим этот метод подробнее.

О методах решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами , рассматриваемыми в соответствующих разделах математики. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получать общие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценить эти схемы, выяснить их сильные и слабые стороны.

Среди численных методов широко распространенными являются разностные методы. Они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточных функций, которые приближенно считаются равными значениям искомых функций.

Приведенные уравнения называются уравнениями математической физики . К их решению сводятся многие прикладные задачи. Прежде чем переходить к обсуждению численных методов решения указанных уравнений, рассмотрим основные вопросы построения разностных схем.

2. Введение в сеточные методы, понятия сетка, шаблон, слой.

О построении разностных схем. Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнений с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчетными точками.

Пример простейшей прямоугольной области G(x, у) с границей Г в двумерном случае показан на рис 1,а . Стороны прямоугольника
,
делятся на элементарные отрезки точками
,
и
,
. Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых
,
образующих сетку с прямоугольной ячейкой. Любой узел этой сетки, номер которого (
), определяется координатами (
).

а б

Рис. 1. Прямоугольная сетка (а ), элемент трехмерной сетки (б )

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G , называются граничными узлами. Все остальные узлы ‑ внутренними.

Аналогично вводятся сетки для многомерных областей. На рис. 1,б показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда для трехмерной области.

Шаблон – комбинация используемых узлов

Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что имеет место для областей сложной формы. Тогда либо вводят дополнительные узлы на пересечении координатных линий с границей, либо границу приближенно заменяют ломаной, проходящей через близкие к границе узлы. На эту ломаную переносятся граничные условия.

В ряде случаев сложные криволинейные области с помощью перехода к новым независимым переменным удается свести к простейшему виду. Например, четырехугольную область G , изображенную на рис. 2, можно привести к единичному квадратуG" путем введения новых переменных £, ц вместо #, у с помощью соотношений

К новым переменным нужно преобразовать уравнения, а также начальные и граничные условия. В области G" можно ввести прямоугольную сетку, при этом в областиG ей будет соответствовать сетка с неравномерно расположенными узлами и криволинейными ячейками,

В дальнейшем при построении разностных схем мы для простоты будем использовать прямоугольные сетки (или с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов в трехмерном случае), а уравнения будем записывать в декартовых координатах (
). На практике приходится решать задачи в различных криволинейных системах координат: полярной, цилиндрической, сферической н др. Например, если расчетную область удобно задать в полярных координатах (
), то в ней сетка вводится с шагами
и
соответственно по радиус-вектору и полярному углу.

Иногда и в простой расчетной области вводят неравномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчета в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения задачи (например, в зависимости от градиентов искомых функций).

Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторому шаблону (см. гл. 3, § 1). При этом точные значения искомой функции U заменяются значениями сеточной функции и в узлах разностной сетки.

В качестве примера построим некоторые разностные схемы для решения уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде

,(6)

где
‑ начальное распределение температурыU (приt = 0);
‑ распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка (х = 0, 1) в любой момент времениt . Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т. е.,.

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий
,
и
,
,и‑ соответственно шаги сетки по направлениямх иt . Значения функции в узлах сетки обозначим
. Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функциикоторые удовлетворяют разностной схеме.

Заменяя в исходном уравнении (6) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему

(7)

В записи этой схемы для каждого узла использован шаблон, изображенный на рис. 2, а .

Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные схемы. В частности, если воспользоваться шаблоном, изображенным на рис. 2, б , то вместо (7) получим разностную схему

(8)

И в том и другом случае получается система алгебраических уравнений для определения значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий

Совокупность узлов при t = const, т. е. при фиксированном значении, называетсяслоем . Схема (7) позволяет последовательно находить значения
,
на
-м слое через соответствующие значенияна-м слое. Такие схемы называютсяявными .

Для начала счета при j = 1 необходимо решение на начальном слое. Оно определяется начальным условием

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (8) содержит на каждом новом слое значения неизвестных в трех точках, поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы называются неявными . При этом разностная схема (8) состоит из линейных трехточечных уравнений, т. е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Такие системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей могут быть решены методом прогонкb, в результате чего будут найдены значения сеточной функции в узлах.

Заметим, что в рассмотренном примере мы получаем двухслойные схемы , когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев ‑ нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.

С помощью рассматриваемого способа построения разностных схем, когда входящие в уравнение отдельные частные производные заменяются конечно-разностными соотношениями для сеточной функции (или сеточными выражениями), могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности.

Уравнение Лапласа. Многие стационарные физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной мембраны, задачи теплопроводности и диффузии в стационарных случаях и др.) сводятся к решению уравненияПуассона вида

1

Если
, то это уравнение называется уравнениемЛапласа . Для простоты будем рассматривать двумерное уравнение Лапласа

2

Решение этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной области G изменения независимых переменныхх, у . Границей областиG является замкнутая линияL . Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границеL . Примем его в виде

3

Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области, называется задачей Дирихле .

Одним из способов решения стационарных эллиптических задач, в том числе и краевой задачи, является их сведение к решению некоторой фиктивной нестационарной задачи (гиперболической или параболической), найденное решение которой при достаточно больших значениях t близко к решению исходной задачи. Такой способ решения называетсяметодом установления .

Поскольку решение U (х, у) нашего уравнения (2) не зависит от времени, то можно в это уравнение добавить равный нулю (при точном решении) член. Тогда уравнение (2) примет вид

4

Это ‑ известное нам уравнение теплопроводности, для которого уже строились разностные схемы. Остается только задать начальное условие. Его можно принять практически в произвольном виде, согласованном с граничными условиями. Положим

5

Граничное условие (3) при этом остается стационарным, т. е. не зависящим от времени.

Процесс численного решения уравнения (4) с условиями (3), (5) состоит в переходе при
от произвольного значения (5) к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода решения на стационарный режим. Естественно, ограничиваются решением при некотором достаточно большом, если искомые значения на двух последовательных слоях совпадают с заданной степенью точности.

Метод установления фактически представляет итерационный процесс решения задачи, причем на каждой итерации значения искомой функции получаются путем численного решения некоторой вспомогательной задачи.

Для решения задачи Дирихле можно также построить разностную схему путем аппроксимации уравнения (2). Введем в прямоугольной области G сетку с помощью координатных прямых х = const и у = const. Примем для простоты значения шагов по переменнымх иу равнымиh (предполагается, что стороны области G соизмеримы). Значения функцииU в узлах
заменим значениями сеточной функции. Тогда, аппроксимируя в уравнении (2) вторые производные с помощью отношений конечных разностей, получим разностное уравнение (шаблон изображен на рис.):

(6)

Данное уравнение можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах. Эту систему можно записать в виде

Значения сеточной функции в узлах, расположенных на границе расчетной области, могут быть найдены из граничного условия (3):

В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива.

Каждое уравнение системы (7) (за исключением тех, которые соответствуют узлам, расположенным вблизи границ) содержит пять неизвестных. Одним из наиболее распространенных методов решения этой системы линейных уравнений является итерационный метод. Каждое из уравнений записываем в виде, разрешенном относительно значения в центральном узле (см. рис.):

Итерационный процесс контролируется максимальным отклонением М значений сеточной функции в узлах для двух последовательных итераций. Если его величина достигнет некоторого заданного малого числа , итерации прекращаются.

Решение уравнения Лапласа в Mathcad. Для решения уравнений Лапласа и Пуассона вMathcadпредусмотрены встроенные функцииrelax иmultigrid .

3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными методом конечных разностей.

4. Решение эллиптических, параболических и гиперболических уравнений.

5. Нестационарные задачи.

6. Построение явной и неявной разностных схем для одномерного уравнения теплопроводности.

7. Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости.

8. Метод прогонки.

9. Аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений (метод прямых).

10. Стационарные задачи, разностные схемы, счет на установление.

11. Вариационно-разностные методы.

12. Метод конечных элементов.

Определение: Уравнение, содержащее несколько независимых переменных, функцию от этих переменных и ее частные производные по этим переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных. линейный дифференциальный порядок переменный

Например, уравнение

является уравнением в частных производных, в котором x, y, z являются независимыми переменными, а ц(x,y,z) - искомая функция. При математическом описании различных процессов природы чаще приходится сталкиваться именно с дифференциальными уравнениями в частных производных, так как в природе обычно встречается зависимость переменных величин от нескольких независимых переменных. Например, изучая распространение тепла в каком-либо теле, мы должны считать температуру тела в любой точке функцией от трех координат этой точки в пространстве, а если температура еще меняется с течением времени, то она является функцией четырех переменных: x, y, z и t . Изучая колебания какой-либо упругой пластинки, мы имеем дело с функцией трех переменных, так как величина смещения точек пластинки зависит и от координат x и y точек пластинки и от времени.

Для уравнений в частных производных вводится также понятие порядка уравнения, определяемого наивысшим порядком входящих в уравнение частных производных. Так, например, уравнение

является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка.

Дифференциальные уравнения в частных производных также имеют бесконечное множество решений. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольную функцию (общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержало только произвольные постоянные). Начальные данные задачи, с помощью которых можно выделять одно частное решение из общего решения уравнения в частных производных обычно распадаются на так называемые начальные условия, т. е. условия, которым удовлетворяет искомая функция в начале исследуемого процесса, и граничные условия, определяющие обычно некоторые значения искомой функции в зависимости от объекта, в котором происходит изучаемый процесс, и от положения этого объекта в пространстве или на плоскости.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка.

Задача о малых свободных поперечных колебаниях натянутой струны.

Пусть по оси Ox натянута тонкая однородная нить (струна), которая может изгибаться. Натяжение, при котором струна находится в состоянии равновесия и натянута по оси Ox , обозначим T 0 . Если вывести струну из положения равновесия, то она начнет колебаться. Изучим характер этих колебаний. Будем считать, что движение происходит в одной плоскости и что точки струны смещаются перпендикулярно оси Ox (такие колебания называются поперечными). Обозначим через U(x,t) смещение точки струны с абсциссой x в момент времени t . На рисунке 1 смещение U=NM .

Будем исследовать малые колебания струны, т. е. такие при которых U и (угловой коэффициент касательной к кривой в точке М) малы. Рассмотрим малый участок струны ММ".

В силу предположения о том, что мала, т. е. что форма струны мало отличается от прямолинейной, можно будет приближенно заменять длину дуги ММ" длиной отрезка NN " на оси Ox . Рассмотрим силы, действующие на участке MM ".

Внутренние силы, возникающие при указанной деформации струны, сводятся к натяжению, так как при деформации струна на некоторых участках растягивается, а на некоторых сжимается.

Ввиду сделанного предположения о малости деформаций, считаем, что величина натяжения во всех точках струны одинакова и равна T 0 . Натяжение T 0 в точке М направлено по касательной к кривой в М влево, а натяжение T 0 в точке M " направлено по касательной к кривой в M " вправо. Так как мы предположили, что смещение точек струны происходит только перпендикулярно оси Ox , то нас интересует только действие вертикальных составляющих натяжения. Составим сумму вертикальных составляющих натяжения в M и M ":

Можно sinб заменить через tgб , так как при малых б можно отбросить как бесконечно малую высшего порядка малости по сравнению с tgб :

Тогда сумма вертикальных составляющих натяжения принимает вид:

В квадратных скобках стоит разность значений величины в точках M " и M ; ее можно считать приращением величины на участке MM ", а приращение

можно с точностью до бесконечно малых высшего порядка заменить дифференциалом этой величины:

Таким образом, получаем окончательное выражение для силы, действующей на участке MM ":

Ускорение движения в любой точке равно второй производной от пройденного пути по времени, т. е. равно. Обозначим линейную плотность струны через с (она постоянна по условию задачи), и тогда масса участка струны MM " равна

Теперь составим уравнение движения по закону Ньютона:

откуда, обозначив

Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, из которого надо найти функцию двух переменных U(x,t) .

Рассмотрим тот способ решения этого уравнения, который был дан в XVIII веке французским математиком Даламбером. Будем считать, что струна бесконечно простирается в обе стороны по оси Ox . В этом случае граничные условия в задаче отсутствуют, а начальные условия задачи состоят в том, что в начальный момент времени известно смещение в каждой точке струны и скорость:

Введем новые независимые переменные о и з , связанные со старыми x и t следующими формулами:

Тогда функцию U(x,t) можно рассматривать, как сложную функцию; зависимость от x и t осуществляется через посредство переменных о и з . Тогда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции частные производные функции U можно записать в виде:

Аналогично находим частные производные второго порядка:

Подставляем эти выражения для производных в уравнение (*):

т. е. производная зависит только от о :

Отсюда находим:

(вместо произвольной постоянной прибавляем произвольную функцию от з , что можно делать ввиду равенства (2)). Таким образом, из (3) получаем:

где и 1 и и 2 - произвольные функции. Это и есть общее решение уравнения (*).

Используем начальные условия (1) для того, чтобы определить вид функций и 1 и и 2 в данной задаче; для этого подставим эти начальные данные в общее решение (4) и в, полученную из (4) дифференцированием по t :

и, интегрируя, получаем:

При. Будем считать, что С=0 (это допускается, так как если бы постоянная С была отлична от 0 , то можно было бы вместо функций и 1 (x) и и 2 (x) рассматривать функции

Для которых разность значений при x=0 была бы равна нулю). Тогда из (6) имеем

Присоединяем к этому уравнению первое из уравнений (5) и из них находим:

Подставляя полученные функции в общее решение (4), получаем:

В этом частном решении все функции, входящие в правую часть, заданы в начальных условиях задачи.

Если начальные условия таковы, что ц 1 (x)=0 , то решение принимает более простой вид:

Подробное исследование полученного решения позволяет выяснить физический смысл формулы и характер распространения волн по струне.

Пример 1. Найти форму струны, определяемой уравнением

в момент, если

Решение. Здесь a=a , ц(x)=sinx ц 1 (x)=1 - начальная скорость колебания струны. Имеем

т.е. струна параллельна оси абсцисс. ¦

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Здесь a=2 , ц(x)=0 - начальное положение струны, ц 1 (x)=x - начальная скорость колебания струны. Отсюда

Приведем еще примеры дифференциальных уравнений в частных производных. Если рассматривать задачу о малых свободных колебаниях мембраны, т. е. тонкой пластинки, которая в состоянии равновесия под действием натяжения T 0 лежит в плоскости XOY , а будучи выведена из положения равновесия, колеблется так, что смещение U(x,y,t) точки (x,y) пластинки происходит перпендикулярно плоскости XOY , то смещение удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению (*)

При рассмотрении электромагнитных колебаний приходим к уравнению вида

Уравнение (8) и его частные случаи (7) и (4) называются "волновым уравнением". Исследование и решение волнового уравнения при разнообразных начальных и граничных условиях, отвечающих различным задачам, решение которых привело к волновому уравнению, весьма сложно. Доказано существование и единственность решения волнового уравнения при заданных начальных данных.

Дифференциальные уравнения в частных производных вида

встречаются при изучении целого ряда явлений. Этому дифференциальному уравнению должны удовлетворять: потенциал сил тяготения во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс; потенциал сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне зарядов, создающих поле; температура в однородном теле, если она не зависит от времени, т. е. если теплообмен стационарный и т. д. Это уравнение носит название уравнения Лапласа. Решения этого уравнения (имеющие непрерывные производные второго порядка) называются "гармоническими функциями". Они очень часто встречаются в различных физических вопросах. Свойства гармонических функций хорошо изучены. При решении уравнения Лапласа начальные условия естественно отсутствуют (так как функция U от времени не зависит), а граничные условия меняются в зависимости от конкретных условий задачи.

Изучение распространения тепла в однородной среде приводит к уравнению в частных производных

где U(x,y,z,t) температура (теплообмен не стационарный). Уравнение вида (9) называется уравнением теплопроводности. Оно решается при начальных и граничных условиях, которые могут быть весьма разнообразными. В случае распространения тепла в теле линейных размеров уравнение (9) принимает вид

Такое уравнение надо решать, например, при изучении распространения тепла в стержне.

Приведенный выше очень неполный перечень основных наиболее часто встречающихся в вопросах математической физики типов дифференциальных уравнений в частных производных показывает, насколько широк и разнообразен круг вопросов, требующих для своего изучения знания теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения - это тот раздел математического анализа, который непосредственно связан с математическим исследованием физических явлений и без знания которого невозможны постановка и решение задач математической физики.

В дальнейшем будем предполагать, что читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвестную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную: . Аналогично общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные: Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго порядка обычно имеют вид Подставляя эти значения в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных постоянных Q и С. Если правая часть уравнения - функция - непрерывна в некоторой окрестности значений и имеет там непрерывные частные производные , то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

В дальнейшем особенно часто будут встречаться линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Для однородного уравнения

общее решение есть линейная комбинация двух его частных

решений если только эти решения линейно независимы (т. е. , где k - константа):

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В этой книге будут изучаться дифференциальные уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений - независимые переменные, u - неизвестная функция):

В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются примерами уравнений второго порядка.

Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые существенны для физики, механики и техники. Именно эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями математической физики.

Предварительно без доказательств познакомимся с простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция я зависит от двух переменных х и у.

Возьмем уравнение

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной но может быть любой функцией от у.

Действительно, дифференцируя функцию по мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблюдается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1).

Рассмотрим болёе сложное уравнение

где - заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (3), имеют вид

где -произвольная функция от Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) но у. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функции, т. е. является общим.

Легко проверить, что уравнение имеет общее решение , где - произвольная дифференцируемая функция.

Напомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных (см. , п. 116). Если , где - функции переменных то

Аналогичные формулы имеют место и для производных по При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных может быть любым.

В нашем примере , где . Поэтому

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество

Точно так же можно проверить, что уравнение имеет общее решение , а уравнение имеет общее решение , где произвольная дифференцируемая функция.

Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть

Положим Тогда уравнение (5) примет вид . Общим решением уравнения будем произвольная функция . Возвращаясь к функции и, получим опять уравнение первого порядка

Согласно (4) его общим решением будет функция

Так как - произвольная функция от у, то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через . В результате мы получили решение в виде

где - произвольные дифференцируемые функции. Лег ко проверить, что функция (6) действительно удовлетворяет уравнению (5).

До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям.

Оказывается, что дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они - второго порядка и линейны относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными - постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции и, зависящей от двух переменных х и у, таков:

где А, В, С, D, Е и F - постоянные числа, а правая часть - заданная функция переменных х и у.

Отметим, что характер и поведение решений этого уравнения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомимся с простейшими уравнениями типа (7) и способами их решений 1).