Прямая, проходящая через точку K(x 0 ; y 0) и параллельная прямой y = kx + a находится по формуле:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Где k - угловой коэффициент прямой.

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M 1 (x 1 ; y 1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Составить уравнение прямой, проходящей через точку K(;) параллельно прямой y = x + .

Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (-2,1) и при этом:
а) параллельно прямой 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярно прямой 2x+3y -7 = 0.
Решение . Представим уравнение с угловым коэффициентом в виде y = kx + a . Для этого перенесем все значения кроме y в правую часть: 3y = -2x + 7 . Затем разделим правую часть на коэффициент 3 . Получим: y = -2/3x + 7/3
Найдем уравнение NK, проходящее через точку K(-2;1), параллельно прямой y = -2 / 3 x + 7 / 3
Подставляя x 0 = -2, k = -2 / 3 , y 0 = 1 получим:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
или
y = -2 / 3 x - 1 / 3 или 3y + 2x +1 = 0

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение . Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 / 7 x – 4 / 7 (здесь a = 5 / 7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)

где k - пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).

Отсюда находим Подставляя найденное значениеk в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М 1 и М 2:

Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .

Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0), а ось Оу – в точке М 2 (0;b). Уравнение примет вид:
т.е.
. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, т.к. числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где
- координаты точки, через которую проходит прямая, а
- направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке
:

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и, которые называются фокусами, есть величина постоянная
, большая чем расстояние между фокусами
.

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет вид
где a длина большой полуоси; b– длина малой полуоси (рис. 2).

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель!

Сегодня мы начнем изучать алгоритмы, связанные с геометрией. Дело в том, что олимпиадных задач по информатике, связанных с вычислительной геометрией, достаточно много и решение таких задач часто вызывают затруднения.

За несколько уроков мы рассмотрим ряд элементарных подзадач, на которые опирается решение большинства задач вычислительной геометрии.

На этом уроке мы составим программу для нахождения уравнения прямой , проходящей через заданные две точки . Для решения геометрических задач нам понадобятся некоторые знания из вычислительной геометрии. Часть урока мы посвятим знакомству с ними.

Сведения из вычислительной геометрии

Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач.

Исходными данными для таких задач могут быть множество точек на плоскости, набор отрезков, многоугольник (заданный например, списком своих вершин в порядке движения по часовой стрелке) и т.п.

Результатом может быть либо ответ на какой то вопрос (типа принадлежит ли точка отрезку, пересекаются ли два отрезка, …), либо какой-то геометрический объект (например, наименьший выпуклый многоугольник, соединяющий заданные точки, площадь многоугольника, и т.п.).

Мы будем рассматривать задачи вычислительной геометрии только на плоскости и только в декартовой системе координат.

Векторы и координаты

Чтобы применять методы вычислительной геометрии, необходимо геометрические образы перевести на язык чисел. Будем считать, что на плоскости задана декартова система координат, в которой направление поворота против часовой стрелки называется положительным.

Теперь геометрические объекты получают аналитическое выражение. Так, чтобы задать точку, достаточно указать её координаты: пару чисел (x; y). Отрезок можно задать, указав координаты его концов, прямую можно задать, указав координаты пары ее точек.

Но основным инструментом при решении задач у нас будут векторы. Напомню поэтому некоторые сведения о них.

Отрезок АВ , у которого точку А считают началом (точкой приложения), а точку В – концом, называют вектором АВ и обозначают либо , либо жирной строчной буквой, например а .

Для обозначения длины вектора (то есть длины соответствующего отрезка) будем пользоваться символом модуля (например, ).

Произвольный вектор будет иметь координаты, равные разности соответствующих координат его конца и начала:

,

здесь точки A и B имеют координаты соответственно.

Для вычислений мы будем использовать понятие ориентированного угла , то есть угла, учитывающего взаимное расположение векторов.

Ориентированный угол между векторами a и b положительный, если поворот от вектора a к вектору b совершается в положительном направлении (против часовой стрелки) и отрицательный – в другом случае. См рис.1а, рис.1б. Говорят также, что пара векторов a и b положительно (отрицательно) ориентирована.

Таким образом, величина ориентированного угла зависит от порядка перечисления векторов и может принимать значения в интервале .

Многие задачи вычислительной геометрии используют понятие векторного (косого или псевдоскалярного) произведений векторов.

Векторным произведением векторов a и b будем называть произведение длин этих векторов на синус угла между ними:

.

Векторное произведение векторов в координатах:

Выражение справа – определитель второго порядка:

В отличии от определения, которое дается в аналитической геометрии, это скаляр.

Знак векторного произведения определяет положение векторов друг относительно друга:

a и b положительно ориентирована.

Если величина , то пара векторов a и b отрицательно ориентирована.

Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны (). Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рассмотрим несколько простейших задач, необходимых при решении более сложных.

Определим уравнение прямой по координатам двух точек.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки: с координатами (x1;y1) и с координатами (x2; y2). Соответственно вектор с началом в точке и концом в точке имеет координаты (x2-x1, y2-y1). Если P(x, y) – произвольная точка на нашей прямой, то координаты вектора равны (x-x1, y – y1).

С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов и можно записать так:

Т.е. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Последнее уравнение перепишем следующим образом:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Задача 1. Заданы координаты двух точек. Найти её представление в виде ax + by + c = 0.

На этом уроке мы познакомились с некоторыми сведениями из вычислительной геометрии. Решили задачу по нахождению уравнения линии по координатам двух точек.

На следующем уроке составим программу для нахождения точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями.

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:

Так как точка М 2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:

Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:

(6)

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)

Решение . . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :

l 1 : , , и

l 2 : , ,

φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .

Отсюда , или

С помощью формулы (7) можно определить один из углов между прямыми. Второй угол равен .

Пример . Две прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими прямыми.

Решение . Из уравнений видно, что k 1 =2, а k 2 =-3. подставляя данные значения в формулу (7), находим

. Таким образом, угол между данными прямыми равен .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые l 1 и l 2 параллельны, то φ=0 и tgφ=0 . из формулы (7) следует, что , откуда k 2 =k 1 . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj= ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k= . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П 1) , то для того чтобы определить расстояние от точкиА до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h .

Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямойа общего положения.

Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах 2 + 2Вху +Су 2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,

где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.

Окружность

Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b).

Окружность задается следующим уравнением:

Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности.

Признак уравнения окружности

1. Отсутствует слагаемое с х,у

2. Равны Коэффициенты при х 2 и у 2

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина).

Каноническое уравнение эллипса:

Х и у принадлежат эллипсу.

а – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью . Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса.

Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.

Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная, отличная от ноля.

Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола имеет 2 оси симметрии:

а – действительная полуось симметрии

b – мнимая полуось симметрии

Ассимптоты гиперболы:

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

У 2 =2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)

Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β) 2 =2р(х-α)

Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х 2 =2qу

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу

. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу

. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных

начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию

Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений

этой прямой.

Уравнение этой прямой в отрезках :

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)

Уравнение прямой :

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,

если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема .

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно

заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.