Арифметический способ решения текстовых задач

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

Умение решать текстовые задачи – один из основных показателей математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала, четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.

Текстовые задачи для большинства школьников – трудный, а поэтому нелюбимый учебный материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как задачи способствуют развитию прежде всего логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека.

В процессе решения задач учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики в решении реальных жизненных задач. Решение текстовых задач развивает логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Традиционная российская школа всегда уделяла особое внимание обучению детей решению текстовых задач. Исторически сложилось так, что достаточно долгое время математические знания из поколения в поколение передавались в виде текстовых задач с решениями. Значимость их заключалась еще в прикладном значении, так как по своему содержанию это были задачи практической направленности (расчеты банковские, торговые, земельные и др.). Образованным в России считался тот, кто умел решать эти типовые задачи, очень важные в повседневной жизни.

Необходимо отметить, что бучение решению практических задач давалось нелегко. Часто наблюдалось заучивание наизусть способа решения без осознанного понимания условия. Главное – определить тип задачи и найти правило для ее решения, понимание было не важно.

К середине XX века была разработана хорошая методика обучению решению задач. Но, к сожалению, часто наблюдалось со стороны преподавателей натаскивание учащихся на решение типовых задач, запоминание стандартных приемов. Но невозможно научиться решать задачи по заученной схеме.

В конце 60-х годов реформа школьного математического образования предполагала раннее введение уравнений с целью по-новому организовать обучение решению задач. Однако, роль алгебраического способа решения текстовых задач в 5-6 классах была преувеличена именно потому, что из школьной программы были удалены арифметические способы. И практика доказала, что без достаточной подготовки мышления учащихся решать задачи с помощью уравнений нецелесообразно. Ученик должен уметь рассуждать, представлять действия, которые происходят с предметами.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять достаточно внимания и не торопиться переходить к алгебраическому способу – решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, к чему они приводят. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе. Только над этим вряд ли задумывается ученик.

Очень часто мы наблюдаем, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводим абстрактную переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что необходимо учитывать возрастные особенности детей, у которых на этот момент развито наглядно-образное мышление. Абстрактные модели им пока не под силу

Что же мы понимаем под требованием – решить задачу. Это значит найти такую последовательность действий, которая в результате анализа условия приведет к ответу на поставленный в задаче вопрос. Чтобы прийти к ответу, нужно проделать серьезный путь, начиная с момента понимания текста, уметь выделять главное, «перевести» задачу на язык математики, заменяя слова «скорее», «медленнее» на «меньше» или «больше», составлять графическую модель или таблицу, облегчающие понимание условия задачи, сопоставлять величины, устанавливая логические отношения между данными по условию и искомыми. И дается это детям очень нелегко.

Важно отметить, что текст задач должен составляться таким образом, чтобы ребенок понимал и представлял, о чем идет речь. Зачастую, прежде чем приступить к решению задачи, затрачивается много времени на разбор условия, когда учащимся приходится объяснять, что такое чугунная болванка, чем она отличается от детали, а также железобетонная опора, станок-автомат, жилая площадь и т.д. Текст задачи должен соответствовать уровню его восприятия. Конечно же, текст задачи необходимо приблизить к реальной жизни, чтобы можно было увидеть практическое применение данной модели.

Приступая к решению задачи необходимо не только представить ситуацию, о которой идет речь, но и изобразить ее на рисунке, схеме, в виде таблицы. Невозможно качественно решить задачу без составления краткой записи условия. Именно схематичное составление условия позволяет при обсуждении решения выявить все действия, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые примеры решения текстовых задач

Задачи на движение

Данный тип задач широко распространен в школьном курсе математики. В них рассматриваются разные виды движения: навстречу, в противоположных направлениях, в одном направлении (один догоняет другого).

Для понимания этих задач удобно изобразить схему. Но, если учащийся составляет таблицу, не нужно переубеждать его в том, что данный способ краткой записи условия не очень хорош. Мы по-разному воспринимаем информацию. Может, ребенок в таком отображении лучше «видит» задачу.

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

Составим схему к задаче, которая достаточно полно отражает условие (указаны направления движения, скорости велосипедистов, время в пути до встречи, ясен вопрос):

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

1 способ:

Традиционно мы любим решать эти задачи, вводя понятие «скорость сближения», и находим ее как сумму (или разность) скоростей участников движения. При движении навстречу друг другу – скорости складываем:

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Зная, что время движения одинаково, второе действие позволяет по формуле пути (S = vt ) рассчитать искомое расстояние и ответить на поставленный в задаче вопрос.

2) 26 3 = 78 (км)

Составим выражение:

3(12 + 14) = 78(км)

Ответ : 78 км.

Но не все дети понимают, что это за абстрактная величина – скорость сближения. Почему можно складывать, а в других случаях вычитать скорости двух различных участников движения, объединяя их общим названием. Если ваши ученики решают эту задачу другим способом, не старайтесь их перетянуть на свою сторону. Для кого-то еще не настало время это понять, а кому-то первый способ вообще никогда не будет доступным.

2 способ:

1)12 3 = 36 (км) – путь первого велосипедиста до встречи

2)14 3 = 42 (км) – путь второго велосипедиста до встречи

3)36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками

Составим выражение:

12 3 + 14 3 = 78 (км)

Ответ : 78 км.

Постепенно, когда ребенок научится понимать такие задачи, сравнивая числовые выражения, можно показать, что оба способа взаимосвязаны, а заодно вспомнить распределительное свойство умножения:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Пример 2. В двух пачках было 54 тетради. Когда из первой пачки убрали 10 тетрадей, а из второй - 14 тетрадей, то в обеих пачках стало тетрадей поровну. Сколько было тетрадей в каждой пачке первоначально?

Как можно отобразить условие?

1.Составить таблицу:

Было

Убрали

Стало

1 пачка - ? 54 тет.

2 пачка – ?

10 тет.

14 тет.

поровну

2. Сделать рисунок

Забрали 14 шт.

Забрали 10 шт.

Поровну

Всего 54 шт.

Проанализируем решение задачи, обращая внимание на то, на какие вопросы мы даем ответы, выполняя каждое арифметическое действие:

1) Сколько всего тетрадей убрали из обеих пачек?

10 + 14 = 24 (шт.);

2) Сколько стало тетрадей в двух пачках?

– 24 = 30 (шт.);

3) Сколько стало в каждой пачке тетрадей?

30: 2 = 15 (шт.);

4) Сколько было тетрадей в первой пачке первоначально?

10 = 25 (шт.);

5) Сколько было тетрадей во второй пачке первоначально?

54 – 25 = 29 (шт.).

В 5 классе, вероятнее всего, ученик выберет именно такой способ решения задачи. А предложите ему решить эту задачу в 6 ил 7 классе. Возможно, ситуация изменится, и ученик будет решать ее с помощью уравнения. Выполняя те же действия, он не будет задумываться над многочисленными вопросами. Выбирая уравнение как средство решения задачи, очень быстро придет к тому же ответу.

Как же тогда будет выглядеть решение?

Пусть х тетрадей стало в каждой пачке после перекладывания,

тогда (х + 10) тетрадей было первоначально в первой пачке, а

(х + 14) тетрадей было первоначально во второй пачке.

Зная, что в двух пачках было 54 тетради, можно составить уравнение:

х + 10 + х + 14 = 54

В уравнении прослеживаются все те же действия, которые выполняются при арифметическом способе решения задачи.

х + х + (10 + 14) = 54; (1 действие арифметического способа)

2х = 54 – 24; (2 действие)

х = 30:2; (3 действие)

15 + 10 = 25 (шт.) (4 действие)

15 + 14 = 29 (шт.) (5 действие)

Ответ: 25 тетрадей, 29 тетрадей.

Но при этом никто не задает вопросов, что мы находим при выполнении каждого шага.

Своим ученикам я всегда показываю, что текст задач для 5-х или 9-х классов зачастую одинаков по смыслу. И практика показывает, что пятиклассники в состоянии разобраться с условием из задачника для 9 класса и даже составить уравнение. Решить такое уравнение, конечно же, пока не хватает знаний. Но при этом не каждому девятикласснику удается решить арифметическим способом задачу для 5 класса.

Школьники, обычно, выбирают алгебраический способ решения текстовых задач, к арифметическому они практически никогда не возвращаются. Они просто перестают видеть этот способ, увлекаясь введением переменных и составлением уравнений.

За что же мы ценим арифметический способ решения текстовых задач? Первое и главное за то, что при выполнении каждого арифметического действия учащийся задумывается над тем: «А что я нашел в результате?» Он представляет, о чем идет речь в задаче, так как каждое действие имеет наглядное и конкретное истолкование. В результате активно развивается логическое мышление. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у ученика формируются познавательные универсальные учебные действия, формирование которых является важнейшей задачей современной системы основного общего образования.

Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5-6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.

Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Великий Д.Пойа сказал: “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. Если мы научим детей решать задачи - мы не только повысим интерес к самому предмету, окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.

Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем то, что требуется найти - ответ.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений в процессе решения задачи.

Решить задачу алгебраическим методом - значит найти ответ на требование задачи путем составления и решения уравнения или системы уравнений.

Алгебраическим методом решают по следующей схеме:

1) выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

2) вводят переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

3) с помощью введенных переменных и данных задачи составляют уравнение или систему уравнений;

4) решают полученное уравнение или систему;

5) проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Комбинированный метод решения включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

В начальной школе задачи делят по количеству действий при решении на простые и составные. Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называют простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называют составными.

Составную задачу, тек же как и простую, можно решить, используя различные способы.

Задача. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные - щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Практический способ .

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб.

Л Л Л О О О О

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует не обозначенным кругам - их три.

Арифметический способ.

1) 3+4=7(р) - пойманные рыбы;

2) 10 - 7 = 3(р) - пойманные щуки.

Алгебраический способ.

Пусть х - пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3 + 4 + х. По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3 + 4 + х = 10. Решив это уравнение, получим х = 3 и тем самым ответим на вопрос задачи.

Графический способ .

лещи окуни щуки

Этот способ, так же как и практический, позволят ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

В математике общепринято следующее деление процесса решения задач :

1) анализ текста задачи, схематическая запись задачи, исследование задачи;

2) поиск способа решения задачи и составление плана решения;

3) осуществление найденного плана;

4) анализ найденного решения задачи, проверка.

Методы поиска решения задачи можно назвать следующие:

1) Анализ: а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи; б) когда целое расчленяют на части;

2) Синтез: а) когда двигаются от данных задачи к искомым;
б) когда элементы объединяют в целое;

3) Переформулировка задачи (четко формулировать промежуточные задания, возникающие по ходу поиска решения);

4) Индуктивный метод решения задачи: на основе точного чертежа усмотреть свойства фигуры, сделать выводы и доказать их;

5) Применение аналогии (вспомнить аналогичную задачу);

6) Прогнозирование - предвидение тех результатов, к которым может привести поиск.

Рассмотрим более подробно процесс решения задачи :

Задача на движение. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратно - за 8ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет собственную скорость, а плот и река, по которой плывут лодка и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь по течению реки за меньшее время (6ч) , чем против течения (8ч). Но эти скорости в задаче не даны, так же как неизвестно и расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные, а время, за которое плот проплывет это расстояние.

Схематическая запись:

Лодка 6 ч

плот лодка

8

Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того, чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой S (км), а скорость течения а км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, она равна V км/ч. Отсюда возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

Осуществление решения задачи. Пусть расстояние равно S (км), скорость течения реки а км/ч, собственная скорость лодки V км/ч , а искомое время движения плота равно х ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна (V+а) км/ч. За 6ч лодка, идя с этой скоростью, прошла расстояние в S (км). Следовательно, 6(V + а ) = S (1). Против течения эта лодка идет со скоростью (V - а ) км/ч и данный путь она проходит за 8 ч , поэтому 8(V - а ) = S (2). Плот, плывя со скоростью течения реки а км/ч, проплыл расстояние S (км) за х ч, следовательно, ах = S (3).

Полученные уравнения образуют систему уравнений относительно неизвестных а, х, S, V. Так как требуется найти лишь х , то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем: V + а = , V - а = . Вычитая из первого уравнения второе, получим: 2а = - . Отсюда а = . Подставим найденное выражение в уравнение (3): х = . Откуда х= 48 .

Проверка решения. Мы нашли, что плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна . Скорость же лодки по течению реки равна км/ч, а против течения км/ч. Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами: + и
- . Произведя вычисления, получим верное равенство: = . Значит, задача решена правильно.

Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 часов.

Анализ решения . Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти надо было одно неизвестное. Поэтому возникает мысль, что данное решение не самое удачное, хотя и простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6ч, а против - за 8ч, найдем, что в 1ч лодка, идя по течению реки проходит часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними - = есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1ч. Значит. Плот за 1ч проплывет часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

При таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако это решение сложнее приведенного выше (не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки).

Упражнения для самостоятельной работы

1. Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, обратно возвратился на лодке, скорость которой в стоячей воде равна 5 км/ч, затратив на все путешествие 10 ч. Найдите скорость течения реки.

2. Одна мастерская должна сшить 810 костюмов, другая за этот же срок - 900 костюмов. Первая закончила выполнение заказов за 3 дня, а вторая за 6 дней до срока. Сколько костюмов в день шила каждая мастерская, если вторая шила в день на 4 костюма больше первой?

3. Два поезда выехали навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми равно 400 км. Через 4 часа расстояние между ними сократилось до 40 км. Если бы один из поездов вышел на 1 час раньше другого, то их встреча произошла бы на середине пути. Определите скорости поездов.

4. На одном складе 500 т угля, а на другом - 600 т. Первый склад ежедневно отпускает 9 т, а второй - 11 т угля. Через сколько дней угля на складах станет поровну?

5. Вкладчик взял из сбербанка 25 % своих денег, а потом 64 000рублей. После чего осталось на счету 35 % всех денег. Какой был вклад?

6. Произведение двузначного числа и его суммы цифр равно 144. Найдите это число, если в нем вторая цифра больше первой на 2.

7. Решите следующие задачи арифметическим методом:

а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь - 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?

в) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая в течении 5 дней?

Общие замечания к решению задач арифметическим методом.

Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.

Задачи на пропорциональное деление.

Задачи на проценты и части.

Задачи, решаемые обратным ходом.

1. Арифметический метод – это основной метод решения текстовых задач в начальной школе. Находит он свое применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот метод позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.

В некоторых случаях решение задачи арифметическим методом значительно проще, чем другими методами.

Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический метод вместе с тем достаточно сложен, и овладение приемами решения задач этим методом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску пути их решения: задачи, даже объединенные в одну группу, имеют со­вершенно разные способы решения.

2 . К задачам на нахождение неизвестных по их разности и отношению относятся задачи, в которых по известным разности и частному двух значений некоторой величины тре­буется найти эти значения.

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам: х = ак/(к – 1), у = а/(к – 1).

Пример. В плацкартных вагонах скорого поезда на 432 пассажира больше, чем в купейных. Сколько пассажиров находится в плацкартных и купейных вагонах отдельно, если в купейных вагонах пассажиров в 4 раза меньше, чем в плацкартных?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рис. 4.

Рис. 4

Число пассажиров в купейных вагонах примем за 1 часть. Тогда можно найти, сколько частей приходится на число пассажиров в плацкартных вагонах, а затем, сколько частей приходится на 432 пассажира. После этого можно определить число пассажиров, составляющих 1 часть (находящихся в купейных вагонах). Зная, что в плацкартных вагонах пассажиров в 4 раза больше, найдем их число.

1  4 = 4 (ч.) – приходится на пассажиров в плацкартных вагонах;

4 – 1 = 3 (ч.) – приходится на разность между числом пассажиров в плацкартных и купейных вагонах;

432: 3 = 144 (п.) – в купейных вагонах;

144  4 = 576 (п.) – в плацкартных вагонах.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом, а именно:

1  4 = 4(ч.);

4 – 1 = 3 (ч.);

432: 3 = 144 (п.);

144 + 432 = 576 (п.).

Ответ: в купейных вагонах 144 пассажира, в плацкартных – 576.

К задачам на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям , относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины.

Алгебраическая модель:

Ответы находятся по формулам:

Пример. Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч. больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 5.

Рис. 5

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч. дольше, а пройденное им за это время расстояние можно найти. Он шел лишних 19 ч. – очевидно, за это время прошел и лишнее расстояние.

837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел пер­вый поезд;

589: 19 = 31 (км/ч) – скорость первого поезда;

837: 31 = 27 (ч.) – был в пути первый поезд;

4) 248: 31 = 8 (ч.) – был в пути второй поезд.

Проверим решение задачи установлением соответствия между данными и числами, полученными при решении задачи.

Узнав, сколько времени был в пути каждый поезд, найдем, на сколько часов больше был в пути первый поезд, чем второй: 27 – 8 = 19 (ч.). Это число совпадает с данным в условии. Следовательно, задача решена верно.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Все четыре вопроса и первые три действия остаются те же.

4) 27 –19 = 8 (ч.).

Ответ: первый поезд был в пути 31ч., второй поезд – 8 ч.

Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно:

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

х = (а – b + с)/2, у = (а + b – с)/2, z = (b + с – a )/ 2.

Пример. Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 6.

Сколько школьников изучает каждый из языков?

Графическая модель задачи показывает: если сложить численности школьников, данные в условии (116 + 90 + 46), то получим удвоенное число школьников, изучающих английский, немецкий и испанский языки. Разделив его на два, найдем общее число школьников. Чтобы найти число школьников, изучающих английский язык, достаточно из этого числа вычесть число школьников, изучающих немецкий и испанский языки. Аналогично находим остальные искомые числа.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

116 + 90 + 46 = 252 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих языки;

252: 2 = 126 (шк.) – изучают языки;

126 – 46 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

126 – 90 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык;

126 – 116 = 10 (шк.) – изучают испанский язык.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом.

116 – 46 = 70 (шк.) – на столько больше школьников изучают английский язык, чем испанский;

90 + 70 = 160 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих английский язык;

160: 2 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

90 – 80 = 10 (шк.) – изучают испанский язык;

116 – 80 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык.

Ответ: английский язык изучают 80 школьников, немецкий язык – 36 школьников, испанский язык – 10 школьников.

3. К задачам на пропорциональное деление относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требуется разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены явно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.

Выделяют пять видов задач на пропорциональное деление.

1) Задачи на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К задачам данного типа относятся задачи, в которых число А х 1, х 2 , х 3 , ..., х n прямо пропорционально числам а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n .

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

Пример. Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имеют корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й – 4 корпуса, 3-й – 5 корпусов, 4-й – 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 7.

Рис. 7

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе и сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – расположено на территории 4 баз;

2112: 22 = 96 (ч.) – может разместиться в одном корпусе;

96  6 = 576 (ч.) – может разместиться на первой базе;

96  4 = 384 (ч.) – может разместиться на второй базе;

96  5 = 480 (ч.) – может разместиться на третьей базе;

96  7 = 672 (ч.) – может разместиться на четвертой базе.

Проверка. Подсчитываем, сколько отдыхающих может разместиться на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (ч.). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.

Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй – 384 отдыхающих, на третьей – 480 отдыхающих, на четвертой – 672 отдыхающих.

2) Задачи на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К ним относятся задачи, в которых число А (зна­чение некоторой величины) нужно разделить на части x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., х„ обратно пропорционально числам а 1ь а 2 , а 3 ,..., а n .

Алгебраическая модель:

или

x 1 : x 2 :х 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...а n :а 1 а 3 ...а п :а 1 а 2 а 4 ...а n :...:а 1 а 2 ...а n -1

Ответ находится по формулам:

где S = а 2 а 3 ...а„ + a l a i ... a n + а ] а 2 а 4 ...а n + ... + а 1 а 2 ...а n -1.

Пример. За четыре месяца доход зверофермы от продажи пушнины составил 1 925 000 р., причем по месяцам полученные деньги распределились обратно пропорционально числам 2, 3, 5, 4. Каков доход фермы в каждом месяце отдельно?

Решение. Для определения названных в условии доходов дан общий доход за четыре месяца, то есть сумма четырех искомых чисел, а также отношения между искомыми числами. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4.

Обозначим искомые доходы соответственно через х, х 2 , х 3 , х 4 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 8.

Рис. 8

Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данному общему доходу за четыре месяца, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые доходы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4, а значит, прямо пропорциональны числам, обратным данным, то есть имеют место отношения . Данные отношения в дробных числах заменим отношениями целых чисел:

2. Зная, что х содержит 30 равных частей, х 2 – 20, х 3 – 12, х 4 – 15, найдем, сколько частей содержится в их сумме:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ч.).

3. Сколько рублей приходится на одну часть?

1 925 000: 77 = 25 000 (р.).

4. Каков доход фермы в первом месяце?

25 000 30 = 750 000 (р.).

5. Каков доход фермы во втором месяце?

25 000 20 = 500 000 (р.).

6. Каков доход фермы в третьем месяце?

25 000– 12 = 300 000 (р.).

7. Каков доход фермы в четвертом месяце?

25 000– 15 = 375 000 (р.).

Ответ: в первом месяце доход фермы составил 750 000 р., во втором – 500 000 р., в третьем – 300 000 р., в четвертом – 375 000 р.

3) Задачи на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел

К задачам этого типа относят те задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1 , х 2 , х 3 , ..., х„, когда дан ряд отношений для искомых чисел, взятых попарно. Алгебраическая модель:

х 1: х 2 = а 1 : b 1, х 2 : х 3 = а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3 : b 3 , ..., х п-1 : х n = а n -1 : b п-1 .

п = 4. Алгебраическая модель:

х х :х 2 = а 1 : b 1, х 2 :х 3= а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3: b 3 .

Итак, х 1: х 2 : х 3: х 4 = а 1 а 2 а 3 : b 1 а 2 а 3 : b 1 b 2 а 3 : b 1 b 2 b 3 .

где S = а 1 а 2 а 3 + b 1 а г а 3 + b 1 b 2 а 3 + b 1 b 2 b 3

Пример. В трех городах 168 000 жителей. Числа жителей первого и второго городов находятся в отношении , а второго и третьего городов – в отношении . Сколько жителей в каждом городе?

Решение. Обозначим искомые численности жителей соответственно через х 1 , х 2 , х 3 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 9.

Рис. 9

Для определения численности жителей даны числа жителей в трех городах, то есть сумма трех искомых чисел, а также отдельные отношения между искомыми числами. Заменив эти отношения рядом отношений, выразим численности жителей трех городов в равных частях. Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данной общей численности жителей в трех городах, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые численности жителей.

Запишем решение по действиям с пояснениями.

1. Заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел:

Числу жителей второго города ставим в соответствие число 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).

Изменяем соответствующим образом получившиеся отношения:

х 1: х 2 = 4: 3 = (4-5):(3-5) = 20: 15, х 2: х 3 = 5: 7 = (5-3):(7-3) = 15: 21.

Из отдельных отношений составляем ряд отношений:

х 1: х 2 : х 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (ч.) – стольким равным частям соответствует число 168 000;

3. 168 000: 56 = 3 000 (ж.) – приходится на одну часть;

4. 3 000 20 = 60 000 (ж.) – в первом городе;

5. 3 000 15 = 45 000 (ж.) – во втором городе;

3 000 21 = 63 000 (ж.) – в третьем городе.

Ответ: 60 000 жителей; 45 000 жителей; 63 000 жителей.

4) Задачи на деление числа на части пропорционально двум, трем и так далее рядам чисел

К задачам этого типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1, х 2 , х 3 ,..., х n пропорционально двум, трем, ..., N рядам чисел.

Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 3 и N = 2. Пусть х 1 х 2 , х 3 прямо пропорциональны числам а 1 , а 2 , а 3 и обратно пропорциональны числам b 1 , b 2 , b 3 .

Алгебраическая модель:

(см. пункт 1 данного параграфа),

Пример. Двое рабочих получили 1 800 р. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч. работы они получали поровну?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 10.

Рис. 10

Чтобы узнать, сколько получил каждый рабочий, надо знать, сколько рублей платили за 1 ч. работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч. работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать, сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

8  3 = 24 (ч.) – работал первый рабочий;

6  6 = 36 (ч.) – работал второй рабочий;

24 + 36 = 60 (ч.) – работали оба рабочих вместе;

1800: 60 = 30 (р.) – получали рабочие за 1 ч работы;

30  24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;

30  36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий. Ответ: 720 р.; 1080 р.

5) Задачи на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности (сумме или разности некоторых из них)

Пример. На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы – в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 11.

Рис. 11

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем найдя их сумму, вычислим величину одной части (в рублях).

Запишем решение по действиям с пояснениями.

Принимаем за 1 часть количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, то есть 1  2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, то есть 2  3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.).

На оборудование детской площадки израсходована 1 часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + + 5 = 8 (ч.).

8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000: 8 = 6 125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6 125 р.

На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6 125  2 = 12 250 (р.).

На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6 125  5 = 30 625 (р.).

Ответ: 6 125 р.; 12 250 р.; 30 625 р.

6) Задачи на исключение одного из неизвестных

К задачам этой группы относятся задачи, в которых даны суммы двух произведений, имеющих два повторяющихся сомножителя, и требуется найти значения этих сомножителей. Алгебраическая модель

Ответ находится по формулам:

Эти задачи решаются способом уравнивания данных, спосо­бом уравнивания данных и искомых, способом замены данных, а также так называемым способом «на предположение».

Пример. На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов израсходовали 204 м ткани, а на 24 пальто и 30 костюмов – 162 м. Сколько ткани расходуется на один костюм и сколько – на одно пальто?

Решение . Решим задачу способом уравнивания данных. Краткая запись задачи.

Решение задач арифметическим способом

Урок по математике в 5 классе.

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их» .
Д. Пойа

Цели и задачи урока:

формирование умения решать задачи арифметическим способом;

развитие творческих способностей, познавательного интереса;

развитие логического мышления;

воспитание любви к предмету;

воспитание культуры математического мышления.

Оборудование: сигнальные карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин.)

Урок посвящен решению задач арифметическим способом. Сегодня мы будем решать задачи разных видов, но все они будут решены без помощи уравнений.

II. Историческая справка (1 мин.)

Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениям. В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречающихся на практике.

III. Разминка (решение задач устно - 6 мин.)
а) Задачи на карточках.
Каждому ученику дается карточка с задачей, которую он решает устно и дает ответ. Все задачи на действие 3 - 1 = 2.

(Ученики решают задачи верно, а кто нет. На всех устно. Поднимают карточки и учитель видит, кто решил задачу карточках должно быть число 2.)

б) Задачи в стихах и логические задачи. (Учитель читает вслух задачу, ученики поднимают карточку с правильным ответом.

Подарил утятам ежик
Кто ответит из ребят,
Восемь кожаных сапожек
Сколько было всех утят?
(Четыре. )

Двое шустрых поросят
Так замерзли, аж дрожат.
Посчитайте и скажите:
Сколько валенок купить им?
(Восемь. )

Я вошел в сосновый бор
И увидел мухомор,
Два опенка,
Два сморчка.
Три масленка,
Два строчка...
У кого ответ готов:
Сколько я нашел грибов?
(Десять. )

4. Во дворе гуляли куры и собаки. Мальчик посчитал их лапы. Получилось десять. Сколько могло быть кур и сколько собак. (Две собаки и одна курица, одна собака и три курицы .)

5. По рецепту врача купили в аптеке 10 таблеток. Врач прописал принимать лекарство по 3 таблетки в день. На сколько дней хватит этого лекарства? (Полных дней.)

6. Брату 7 лет, а сестре 5. сколько лет будет сестре, когда брату будет 10 лет?

7. Даны числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. что больше: их произведение или сумма?

8. При постройке забора плотники поставили по прямой 5 столбов. Расстояние между столбами по 2 м. Какова длина забора?

IV. Решение задач

(Задачи детям даны на карточках - 15 мин. Дети решают задачи у доски)
Задачи а) и б) нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.

а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?

б) Первая бригада собрала за смену 52 прибора, втор?"; - на 9 приборов меньше, чем первая, а третья - на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько приборов собрали три бригады за смену?

С помощью задачи в) учащимся можно показать решение задачи «обратным ходом».

в) В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

В задаче г) учащиеся могут предложить несколько способов решения.

г) У трех сестер спросили: «Сколько лет каждой из сестер?». Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

Задача д) предназначена для повторения связи отношении «больше в...» и «меньше в...».

д) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась его коллекция?

V. Физкультминутка (2 мин.)

На одной ноге постой-ка,
Будто ты солдатик стойкий.
Ногу левую - подними.
Да смотри - не упади.
А теперь постой на левой,
Если ты солдатик смелый.

VI. Старинные, исторические задачи. Задачи со сказочным содержанием (10 мин.)

Задача е) на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

е) (из «Арифметики» Л.Н. Толстого)

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?

Задача на движение.

ж) (Старинная задача.) Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил 26 верст в час. Сколько верст от Москвы до Твери?

(С помощью уравнения легче добраться до ответа. Но учащимся предлагается поискать арифметическое решение задачи.)

1) 26 * 2 = 52 (версты) - на столько верст второй поезд отстал от первого;

2) 39 - 26 = 13 (верст) - на столько верст второй поезд отставал за 1 час от первого;

3) 52: 13 = 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;

4) 39 * 4 = 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

Можно заглянуть в справочники найти расстояние в километрах.

1 верста = 1 км 69 м.

Задача на части.

з) Задача Кикиморы. Водяной решил жениться на кикиморе Ха-Ха. На фату кикиморе он посадил несколько пиявок, а себе на накидку в два раза больше. Во время праздника 15 пиявок отвалились, и осталось всего 435. Сколько пиявок было на фате у кикиморы?

(Задача дана для решения с помощью уравнения, но мы решаем арифметическим способом)

VII. Живые цифры (разгрузочная пауза - 4 мин.)

Учитель вызывает к доске 10 учеников, дает им цифры от 1 до 10. Ученики получают разные задания;

а) учитель называет числа; названные делают шаг вперед (н-р: 5, 8, 1, 7);

б) выходят только соседи названного числа (н-р: число 6, выходят 5 и 7);

в) учитель придумывает примеры, и выходит только тот, у кого ответ на этот пример или задачу (н-р: 2 ´ 4; 160: 80; и т.д.);

г) учитель делает несколько хлопков и еще показывает цифру (одну или две); должен выйти ученик, число которого есть сумма всех услышанных и увиденных чисел (например: 3 хлопка, цифра 5 и цифра 1.);

какое число на 4 больше четырех?

я задумала число, отняла от него 3, у меня получилось 7. Какое число я задумала?

если к задуманному числу прибавить 2, то получится 8. Чему равно задуманное число?

Надо стараться подбирать такие задания, чтобы в ответах не повторялись одни и те же числа, чтобы каждый мог активно участвовать в игре.

VIII. Подведение итогов урока (2 мин.)

- Чем мы сегодня занимались на уроке?

- Что значит решить задачу арифметическим способом?

- Надо помнить, что найденное решение задачи должно удовлетворять условиям задачи.

IХ. Задание на дом. Выставление оценок (2 мин.)

№ 387 (решить задачи арифметическим способом), для слабых учащихся. Для средних и сильных учащихся задание на дом дается на карточках.

1. В булочной было 645 кг черного и белого хлеба. После того как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталась поровну. Сколько килограммов черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел брат?

Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слов. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.

Литература

Виленкин Н., Жохов В., Чесноков А. Математика. 5 класс. - М., «Мнемозина», 2002.

Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. - М.: Педуниверситет «Первое сентября», 2006.

Волина В. Праздник числа. - М.: Знание, 1994.

Cтраница 1

Арифметический метод - сумма амортизационных отчислений ежегодно уменьшается по арифметическому ряду.  

Арифметический метод контроля включает подсчет контрольных сумм по строкам и столбцам документов, имеющих табличную форму, контроль по формулам, признакам делимости или четности, балансовые методы, повторный ввод и т.п. Для предотвращения случайного или намеренного искажения информации служат и организационные, и специальные мероприятия.  

Арифметический метод решения задачи является чисто синтетическим: от одного известного факта он переходит к другому до тех пор, пока желанная цель не будет достигнута. Алгебраический же метод решения по своей природе аналитический: он начинает с конца и, обозначив цель поиска условным символом, устремляется к началу и влечет за собой свою жертву-инкогнито до тех пор, пока не выходит на ослепительный свет известных фактов, срывает с нее маску и говорит: Я тебя знаю.  

Примером использования арифметических методов для решения сравнительно сложных математических задач может служить численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитическим решением дифференциального уравнения является уравнение, выражающее зависимую переменную в виде функции от независимой переменной; численное же решение представляется в виде таблицы, включающей значения независимой переменной и соответствующие значения зависимой переменной в требуемом диапазоне.  

Подобные задачи арифметическим методом уже решались учащимися на уроках математики, что и следует использовать, особенно в начале изучения темы. Заканчивается раздел решением задач с использованием понятия о средней скорости движения.  

Простые проблемы можно решать с помощью арифметических методов, по мере усложнения проблем для их решения должны использоваться более сложные методы: регрессия, матричная алгебра, дифференциальные уравнения. За некоторой границей сложности математическую обработку данных нецелесообразно или вообще невозможно вести вручную - ее необходимо производить на ЭВМ. Роль человека при этом коренным образом меняется. Не участвуя в прямых вычислениях, человек занят в этом случае вопросами определения структуры решения проблемы вводом исходных данных и рассмотрением полученных результатов.  

Иногда считают, что отличительная черта арифметического метода - отсутствие буквенных выражений. Дело как раз не в буквенных выражениях, а в том, что при этом методе не составляют и не решают уравнений.  

Арифметический метод хотя и обладает несколько меньшей точностью по сравнению с графическим, но зато более простой и удобный в практической работе.  

Здесь решаются задачи на составление кинематическ. Для решения этих задач применяется преимущественно формальный арифметический метод подсчета числа переменных параметров и условий связи, к-рыми определяется движение механизма.  

Результаты октав-ного анализа шума наносят на график нормировочных кривых шума, и наибольший номер кривой, превышенный уровнем шум-а в одной или нескольких октавных полосах, считается нормировочным индексом шума. Существует также арифметический метод нахождения этого индекса. В широкой практике предпочитают пользоваться оценкой шу-ч ма в дБА как более адекватной.  

В том же гармоническом осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее - числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.  

Его метод состоит в расположении сообщений длины N в порядке убывающих вероятностей. Этот ряд делится на две группы, по возможности с равными вероятностями. Если сообщение относится к первой группе, его первая двоичная цифра будет 0, в противном случае - единица. Эти группы аналогичным образом делятся на подгруппы примерно равной вероятности, и частная подгруппа определяет второй двоичный знак. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получатся подгруппы, содержащие только по одному сообщению. Легко видеть, что, за исключением незначительных отличий (в общем случае в последней цифре), это приводит к тем же результатам, что и при описанном выше арифметическом методе.  

Страницы:      1