Цели и задачи урока:

• вывести формулы: объема пирамиды с использованием основной формулы объема тел и объема усеченной пирамиды.
• систематизировать теоретические знания по теме нахождения объема пирамиды.
• сформировать навык нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной или описанной около осно­вания окружности.
• выработать навыки решения типовых задач на применение формул объемов пирамиды и усеченной пирамиды.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы выполняется с помощью мультимедийного проектора

Докажем теорему: объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.

Доказательство:

Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, затем для произвольной.

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h . Проведем ось ох (ОМ 2 - высота), рассмотрим сечение А 1 В 1 С 1 пирамиды плоскостью, пер­пендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М 1 пересечения этой плоскости с осью ох, а через S{ x) - площадь сечения. Выразим S(x) через S , h и х . Заметим, что

В самом деле , следовательно, .

Прямоугольные треугольники , тоже подобны (они име­ют общий острый угол с вершиной О).

Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем

2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пи­рамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель , получим в скобках сумму оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S оснований исходной пирамиды.

Таким образом, объем исходной пирамиды равен . Теорема доказана.

II. решить задачи по готовым чертежам.

Задача 1. (рис. 3)

Дано: АВС D – правильная пирамида, АВ = 3; AD= . Найти: а)S осн ; б) АО; в) DO г) V.

Задача 2. (рис. 4)

Дано: АВС DF – правильная пирамида, .

Задача 3. (рис. 5)

Дано: АВС DEKF – правильная пирамида,

Найти: а) S осн ; б) V.

Задача 4. (рис . 6)

Найти: V.

Проверка задач выполняется с помощью мультимедийного проектора с подробным анализом поэтапного решения.

Задача 1. (рис. 3)

а) (используется формула для вычисления площади правильного треугольника)
АВ = = 3, имеем

б) (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника) .

Задача 2. (рис. 4)

1) Рассмотрим следовательно,
– равнобедренный, ОС = FО = 2.

Задача 3. (рис. 5)

Задача 4. (рис. 6)

III. Проверка вывода формулы для вычисления объема усеченной пирамиды (сообщение ученика у доски выполняется с помощью мультимедийного проектора)

Ответ ученика:

Объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию (рис. 1).

Подставим это выражение для х в первую формулу,

Pабота в форме теста, с проверкой через мультимедийный проектор.

1.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.

а) 10 см 3 , б) 42 см 3 , в) 60 см 3 , г) 30 см 3 .

2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см 3 . Чему равна высота?

3. Объем пирамиды равен 56 см 3 , площадь основания 14 см 2 . Чему равна высота?

а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.

4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. найдите объем пирамиды.

а) 50 см 3 , б) 48 см 3 , в) 16 см 3 .

6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см 3 , высота 9 см. найти сторону основания.

а)12 см, б) 9 см, в) 3 см.

7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см 3 , площадь нижнего основания 36 см 2 , верхнего 9 см 2 . Найдите высоту пирамиды.

а) 1см, б) 15 см, в) 10см.

8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

Таблица ответов.

Задача	1	2	3	4	5	6	7	8
Ответ	б	а	б	а	б	в	в	в

Домашняя работа: 1. Решить задачи №695в, №697, №690

2. Рассмотреть базовые задачи

Задача 1.

Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Докажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока .

Образовательная: Вывести формулу для вычисления объема пирамиды

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Объем пирамиды”.

1. Фронтальный опрос. Слайды 2, 3

Что называется пирамидой, основанием пирамиды, ребрами, высотой, осью, апофемой. Какая пирамида называется правильной, тетраэдром, усеченной пирамидой?

Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника , точки , не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков , соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки , соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами . Высота пирамиды - перпендикуляр , опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник , а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

2. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды V=SH/3 Слайды 4, 5, 6

1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.

2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.

3. Эта призма составлена из трех пирамид:

1) данной пирамиды SABC.

2) пирамиды SCC 1 B 1 .

3) и пирамиды SCBB 1 .

4. У второй и третьей пирамид равные основания СС 1 В 1 и В 1 ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ 1 С 1 С. Поэтому у них равные объемы.

5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB 1 S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ 1 S. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.

Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.

1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9

По стороне основания? и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды, в основании которой лежит:

1) треугольник,

2) четырехугольник,

3) шестиугольник.

В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)

4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17

Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.

Тайна пирамид

Некоторые исследователи утверждают, что пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, а точнее, в форме октаэдра, половину которого и представляет пирамида. Пирамида вершиной вверх символизирует жизнь, вершиной вниз – смерть, потусторонний мир. Точно так же, как составные части Звезды Давида (Маген Давид), где треугольник, устремленный вверх, символизирует восхождение к Высшему Разуму, Богу, а треугольник, опущенный своей вершиной вниз, символизирует нисхождение души на Землю, материальное существование...

Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.

Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.

Многие эзотерические источники утверждают, что человечество Земли уже четыре раза переживало всемирную катастрофу. Третья лемурианская раса знала Божественную науку о Вселенной, потом эту тайную доктрину передавали только посвященным. В начале циклов и полуциклов звездного года они строили пирамиды. Они вплотную подходили к открытию кода жизни. Цивилизации Атлантиды многое удавалось, но на каком-то уровне познания их остановила очередная планетарная катастрофа, сопровождавшаяся сменой рас. Вероятно, посвященные хотели передать нам, что в пирамидах заложено знание космических законов...

Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.

В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.

Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.

Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.

Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.

В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.

Косметические крема и мази улучшают свое действие.

Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.

В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.

По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.

Возможно, для многих это будет не актуально, но в маленькой пирамиде самозатачиваются старые бритвенные лезвия, а в большой пирамиде вода не замерзает при -40 градусах по Цельсию.

По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.

За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.

5. Подведение итогов урока.

Список используемой литературы.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.

3) Энциклопедия “Древо познания” Маршалл К.

Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.

Треугольная пирамида

Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.

Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.

Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.

Любая треугольная пирамида имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.

Объем пирамиды треугольной общего типа

Прежде чем записать формулу объема правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:

По теме: "Глобал Финанс": отзывы о компании от сотрудников и клиентов

Здесь S o — площадь основания, h — высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:

V = 1/6*a*h o *h.

Формулы объема правильной треугольной пирамиды

Правильная пирамида треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:

Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.

Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:

V = √3/4*h*r 2 .

Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:

Задача на определение объема тетраэдра

Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.

Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.

Напомним, что тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема правильной пирамиды треугольной, необходимо вычислить две величины:

По теме: Из этих необычных материалов скоро будут изготавливать автомобильные сиденья

• длину стороны треугольника;
• высоту фигуры.

Первая величина известна из условия задачи:

Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.

Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC — это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:

Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.

h = AB = √(AC 2 — BC 2) = √(a 2 — a 2 /3) = a*√(2/3).

Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .

Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.

Задача с гомотетичными пирамидами

Главной характеристикой любой геометрической фигуры в пространстве является ее объем. В данной статье рассмотрим, что собой представляет пирамида с треугольником в основании, а также покажем, как находить объем треугольной пирамиды - правильной полной и усеченной.

Что это - треугольная пирамида?

Каждый слышал о древних египетских пирамидах, тем не менее они являются четырехугольными правильными, а не треугольными. Объясним, как получить треугольную пирамиду.

Возьмем произвольный треугольник и соединим все его вершины с некоторой одной точкой, расположенной вне плоскости этого треугольника. Образованная фигура будет называться треугольной пирамидой. Она показана на рисунке ниже.

Как видно, рассматриваемая фигура образована четырьмя треугольниками, которые в общем случае являются разными. Каждый треугольник - это стороны пирамиды или ее грань. Эту пирамиду часто называют тетраэдром, то есть четырехгранной объемной фигурой.

Помимо сторон, пирамида также обладает ребрами (их у нее 6) и вершинами (их 4).

с треугольным основанием

Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

• ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
• боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.

Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

треугольной пирамиды

Определить объем совершенно любой пирамиды с произвольным n-угольником в основании можно с помощью следующего выражения:

Здесь символ S o обозначает площадь основания, h - это высота фигуры, проведенная к отмеченному основанию из вершины пирамиды.

Поскольку площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны a на апофему h a , опущенную на эту сторону, то формула объема треугольной пирамиды может быть записана в следующем виде:

V = 1/6 × a × h a × h

Для общего типа определение высоты является непростой задачей. Для ее решения проще всего воспользоваться формулой расстояния между точкой (вершиной) и плоскостью (треугольным основанием), представленной уравнением общего вида.

Для правильной имеет конкретный вид. Площадь основания (равностороннего треугольника) для нее равна:

Подставляем ее в общее выражение для V, получаем:

V = √3/12 × a 2 × h

Частным случаем является ситуация, когда у тетраэдра все стороны оказываются одинаковыми равносторонними треугольниками. В этом случае определить его объем можно, только исходя из знания параметра его ребра a. Соответствующее выражение имеет вид:

Усеченная пирамида

Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.

Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.

Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Здесь h - высота фигуры, A и a - длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.

Решение задачи

Чтобы приведенная информация в статье была понятнее для читателя, покажем на наглядном примере, как пользоваться некоторыми из записанных формул.

Пусть объем треугольной пирамиды равен 15 см 3 . Известно, что фигура является правильной. Следует найти апофему a b бокового ребра, если известно, что высота пирамиды составляет 4 см.

Поскольку известны объем и высота фигуры, то можно воспользоваться соответствующей формулой для вычисления длины стороны ее основания. Имеем:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 см

Рассчитанная длина апофемы фигуры получилась больше ее высоты, что справедливо для пирамиды любого типа.

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

• боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
• апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
• вершина пирамиды - это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
• основание - это многоугольник, на котором не лежит вершина;
• высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу V = (S*h)/3 (в формуле V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а - гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b - первый катет или половина диагонали и с - соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² - b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра - 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды - это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания - d2, а ребро имеет длину - l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего - 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза - 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.