Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.

Как разделить простую дробь на натуральное число?
Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.

Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:

Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.

Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь - это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.

Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.

Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:

• для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
  
• запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.
  

Применяя эти простые правила, всегда можно без особого труда разделить любую десятичную или простую дроби на целое число.

Рано или поздно, все дети в школе начинают изучать дроби: их сложение, деление, умножение и все возможные действия, которые только возможно выполнять с дробями. Чтобы оказать должную помощь ребенку, родителям самим не стоит забывать, как происходит деление целых чисел на дроби, иначе, вы не сможете ему ничем помочь, а лишь запутаете. Если вам понадобилось вспомнить данное действие, но вы никак не можете свести всю информацию в голове в единое правило, то данная статья вам поможет: вы научитесь делить число на дробь и увидите наглядные примеры.

Как разделить число на дробь

Запишите свой пример на черновик, чтобы у вас была возможность делать заметки и помарки. Помните, что целое число записывается между клеток, прямо на их пересечении, а дробные числа – каждая в своей клетке.

• В данном способе вам нужно перевернуть дробь вверх ногами, то есть, знаменатель записать в числитель, а числитель – в знаменатель.
• Знак деления нужно поменять на умножение.
• Теперь вам осталось выполнить умножение по уже изученным правилам: числитель умножается на целое число, а знаменатель не трогаете.

Конечно, в результате такого действия у вас получится очень большое число в числителе. В таком состоянии оставлять дробь нельзя – учитель попросту не примет этот ответ. Сократите дробь, разделив числитель на знаменатель. Целое число, которое получится в результате, запишите слева от дроби посередине клеток, а остаток и будет новым числителем. Знаменатель остается неизменным.

Этот алгоритм довольно прост, даже для ребенка. Выполнив его пять-шесть раз, малыш запомнит порядок действия и сможет применять его к любым дробям.

Как разделить число на десятичную дробь

Бывают дроби другого вида – десятичные. Деление на них происходит по совсем другому алгоритму. Если вы столкнулись с таким примером, то придерживайтесь инструкции:

• Для начала, превратите оба числа в десятичные дроби. Сделать это просто: делитель у вас и так представлен в виде дроби, а делимое натуральное число вы отделяете запятой, получая десятичную дробь. То есть, если делимое было числом 5, вы получаете дробь 5,0. Отделять число нужно на столько цифр, сколько стоит после запятой и делителя.
• После этого, обе десятичные дроби вы должны сделать натуральными числами. Сперва, вам покажется это немного запутанным, но это самый быстрый способ деления, который будет занимать у вас секунды, после нескольких тренировок. Дробь 5,0 станет числом 50, дробь 6,23 будет 623.
• Выполните деление. Если числа получились большие, либо деление будет происходить с остатком, выполните его в столбик. Так вы наглядно увидите все действия данного примера. Вам не нужно специально ставить запятую, так как она сама появится в процессе деления в столбик.

Данный вид деления изначально кажется слишком запутанным, так как вам нужно превратить делимое и делитель в дробь, а потом снова в натуральные числа. Но после недолгой тренировки, вы сразу станете видеть те числа, которые нужно просто разделить друг на друга.

Помните, что умение правильно делить дроби и целые числа на них могут ни раз пригодиться в жизни, поэтому, знать эти правила и простые принципы ребенку нужно идеально, чтобы в более старших классах они не стали камнем преткновения, из-за которого ребенок не может решать более сложные задачи.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Для решения различных заданий из курса математики, физики приходится производить деление дробей. Это сделать очень легко, если знать определенные правила выполнения этого математического действия.

Прежде чем перейти к формулированию правило том, как делить дроби, давайте вспомним некоторые математические термины:

1. Верхняя часть дроби называется числителем, а нижняя – знаменателем.
2. При делении числа называются так: делимое: делитель = частное

Как делить дроби: простые дроби

Для выполнения деления двух простых дробей следует умножить делимое на дробь, обратную делителю. Эту дробь по-другому называют еще перевернутой, потому что она получается в результате замены местами числителя и знаменателя. Например:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Как делить дроби: смешанные дроби

Если нам предстоит разделить смешанные дроби, то здесь тоже все достаточно просто и понятно. Сначала переводим смешанную дробь в обычную неправильную дробь. Для этого умножаем знаменатель такой дроби на целое число и числитель прибавляем к полученному произведению. В итоге мы получили новый числитель смешанной дроби, а знаменатель ее останется без изменения. Дальше деление дробей будет осуществляться точно так же, как и деление простых дробей. Например:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Как делить дробь на число

Для того чтобы разделить простую дробь на число, последнее следует написать в виде дроби (неправильной). Это сделать очень легко: на месте числителя пишется это число, а знаменатель такой дроби равен единице. Дальше деление выполняется обычным способом. Рассмотрим это на примере:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Как делить десятичные дроби

Нередко взрослый человек испытывает затруднения при необходимости без помощи калькулятора разделить целое число или десятичную дробь на десятичную дробь.

Итак, чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно в делителе просто зачеркнуть запятую и перестать обращать на нее внимание. В делимом запятую нужно передвинуть вправо ровно на столько знаков, сколько было в дробной части делителя, при необходимости дописывая нули. И дальше производят обычное деление на целое число. Чтобы это стало более понятно, приведем следующий пример.

Тип урока: ОНЗ (открытие новых знаний – по технологии деятельностного метода обучения).

Основные цели:

1. Вывести приемы деления дроби на натуральное число;
2. Сформировать способность к выполнению деления дроби на натуральное число;
3. Повторить и закрепить деление дробей;
4. Тренировать способность к сокращению дробей, анализу и решению задач.

Оборудование демонстрационный материал:

1. Задания для актуализации знаний:

Сравните выражения:

Эталон:

2. Пробное (индивидуальное) задание.

1. Выполните деление:

2. Выполните деление, не выполняя всю цепочку вычислений: .

Эталоны:

• При делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.

• Если числитель делится на натуральное число, то при делении дроби на это число можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить прежним.

Ход урока

I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Цель этапа:

1. Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);
2. Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»);
3. Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»).

Организация учебного процесса на этапе I.

Здравствуйте! Я рада видеть вас всех на уроке математики. Надеюсь, это взаимно.

Ребята, какие новые знания вы приобрели на прошлом уроке? (Делить дроби).

Верно. Что вам помогает выполнять деление дробей? (Правило, свойства).

Где эти знания нам необходимы? (В примерах, уравнениях, задачах).

Молодцы! Вы хорошо справились с заданиями на прошлом уроке. Хотите и сегодня открыть сами новые знания? (Да).

Тогда – в путь! А девизом урока возьмём высказывание «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!».

II. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.

Цель этапа:

1. Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания. Зафиксировать эти способы вербально (в речи) и знаково (эталон) и обобщить их;
2. Организовать актуализацию мыслительных операций и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
3. Мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;
4. Предъявить индивидуальное задание для пробного действия и проанализировать его с целью выявления нового учебного содержания;
5. Организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;
6. Организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения;
7. Организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обоснования.

Организация учебного процесса на этапе II.

Фронтально, с использованием планшетов (индивидуальных досок).

1. Сравните выражения:

(Эти выражения равны)

Что интересного вы заметили? (Числитель и знаменатель делимого, числитель и знаменатель делителя в каждом выражении увеличились в одно и то же число раз. Т.о., делимые и делители в выражениях представлены дробями, равными между собой).

Найдите значение выражения и запишите на планшете. (2)

Как записать это число в виде дроби?

Как вы выполнили действие деления? (Дети проговаривают правило, учитель вывешивает на доску буквенные обозначения)

2. Вычислите и запишите только результаты:

3. Сложите полученные результаты и запишите ответ. (2)

Как называется число, полученное в задании 3? (Натуральное)

Как вы думаете, сможете ли дробь разделить на натуральное число? (Да, постараемся)

Попробуйте это выполнить.

4. Индивидуальное (пробное) задание.

Выполните деление: (только пример а)

По какому правилу вы выполнили деление? (По правилу деления дроби на дробь)

А теперь разделите дробь на натуральное число более простым способом, не выполняя всю цепочку вычислений: (пример б). Даю вам на это 3 секунды.

У кого не получилось выполнить задание за 3 секунды?

У кого получилось? (Нет таких)

Почему? (Не знаем способа)

Что получили? (Затруднение)

А как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Делить дроби на натуральные числа)

Верно, откройте тетради и запишите тему урока «Деление дроби на натуральное число».

Почему эта тема звучит как новая, ведь вы уже умеете делить дроби? (Нужен новый способ)

Верно. Сегодня установим приём, упрощающий деление дроби на натуральное число.

III. Выявление места и причины затруднения.

Цель этапа:

1. Организовать восстановление выполненных операций и зафиксировать (вербальную и знаковую) место – шага, операции, где возникло затруднение;
2. Организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом) и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.

Организация учебного процесса на этапе III.

Какое задание вы должны были выполнить? (Разделить дробь на натуральное число, не проделывая всю цепочку вычислений)

Что вызвало у вас затруднение? (Не смогли решить за короткое время быстрым способом)

Какую цель мы ставим перед собой на уроке? (Найти быстрый способ деления дроби на натуральное число)

Что вам поможет? (Уже известное правило деления дробей)

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

1. Уточнение цели проекта;
2. Выбор способа (уточнение);
3. Определение средств (алгоритм);
4. Построение плана достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе IV.

Вернёмся к пробному заданию. Вы сказали, что делили по правилу деления дробей? (Да)

Для этого заменили натуральное число дробью? (Да)

Какой шаг (или шаги), на ваш взгляд, можно пропустить?

(На доске открыта цепочка решения:

Проанализируйте и сделайте вывод. (Шаг 1)

Если нет ответа, то подводим через вопросы:

Куда попал натуральный делитель? (В знаменатель)

Числитель изменился при этом? (Нет)

Так какой шаг можно «опустить»? (Шаг 1)

План действий:

• Умножить знаменатель дроби на натуральное число.
• Числитель не изменяем.
• Получаем новую дробь.

V. Реализация построенного проекта.

Цель этапа:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний;
2. Организовать фиксацию построенного способа действия в речи и знаков (с помощью эталона);
3. Организовать решение исходной задачи и зафиксировать преодоление затруднения;
4. Организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе V.

А теперь выполните пробный пример новым способом быстро.

Теперь вы смогли выполнить задание быстро? (Да)

Объясните, как вы это сделали? (Дети проговаривают)

Значит, мы получили новое знание: правило деления дроби на натуральное число.

Молодцы! Проговорите его в парах.

Затем один ученик проговаривает классу. Фиксируем правило-алгоритм словесно и в виде эталона на доске.

Введите теперь буквенные обозначения и запишите формулу для нашего правила.

Ученик записывает на доске, проговаривая правило: при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.

(Все пишут формулу в тетрадях).

А теперь ещё раз проанализируйте цепочку решения пробного задания, обратив особое внимание на ответ. Что сделали? (Числитель дроби 15 разделили (сократили) на число 3)

Что это за число? (Натуральное, делитель)

Так как еще можно разделить дробь на натуральное число? (Проверить: если числитель дроби делится на это натуральное число, то можно числитель разделить на это число, результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним)

Запишите этот способ в виде формулы. (Ученик записывает на доске проговаривая правило. Все записывают формулу в тетрадях.)

Вернёмся к первому способу. Можно им пользоваться в случае, если a:n? (Да, это общий способ)

А когда второй способ удобно применять? (Когда числитель дроби делится на натуральное число без остатка)

VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Цель этапа:

1. Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении типовых задач с их проговариванием во внешней речи (фронтально, в парах или группах).

Организация учебного процесса на этапе VI.

Вычисли новым способом:

• №363 (а; г) – выполняют у доски, проговаривая правило.
• №363 (д; е) – в парах с проверкой по образцу.

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа:

1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на новый способ действия;
2. Организовать самопроверку на основе сопоставления с эталоном;
3. По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию усвоения нового способа действия.

Организация учебного процесса на этапе VII.

Вычисли новым способом:

• №363 (б; в)

Учащиеся проверяют по эталону, отмечают правильность выполнения. Анализируются причины ошибок и ошибки исправляются.

Учитель спрашивает тех учащихся, кто допустил ошибки, в чём причина?

На этом этапе важно, чтобы каждый учащийся самостоятельно проверил свою работу.

VIII. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа:

1. Организовать выявление границ применения нового знания;
2. Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

Организация учебного процесса на этапе VIII.

Организовать фиксацию неразрешённых затруднений на уроке как направления будущей учебной деятельности;

Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе IX.

1. Диалог:

Ребята, какое новое знание вы сегодня открыли? (Научились делить дробь на натуральное число простым способом)

Сформулируйте общий способ. (Говорят)

Каким способом, и в каких случаях можно пользоваться ещё? (Говорят)

В чём преимущество нового способа?

Достигли ли мы поставленной нами цели урока? (Да)

Какие знания вы использовали для достижения цели? (Говорят)

Всё ли у вас получилось?

В чём были затруднения?

2. Домашнее задание: п.3.2.4.; №365(л, н, о, п); №370.

3. Учитель: я рада, что сегодня все были активны, сумели найти выход из затруднения. А самое главное, не были соседями при открытии нового и его закреплении. Спасибо вам за урок, дети!