Прямая, проходящая через точку K(x 0 ; y 0) и параллельная прямой y = kx + a находится по формуле:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Где k - угловой коэффициент прямой.
Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M 1 (x 1 ; y 1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (-2,1) и при этом:Пример №2
. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение
. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .
Пример №3
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 / 7 x – 4 / 7 (здесь a = 5 / 7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .
Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.
Пример №5
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Если общее Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2), компоненты которого удовлетворяют условию А α 1 + В α 2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
уравнение этой прямой в отрезках:
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример . Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .
Решение. Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
Решение . Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = λА, В 1 = λВ. Если еще и С 1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример . Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.
Пример . Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Решение . Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример . Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Решение . Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу
. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу
. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных
начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию
Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется
нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.
р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений
этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках :
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)
Уравнение прямой :
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,
параллельные осям или проходящие через начало координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми
будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,
если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема .
Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты
А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых
находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b
представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:
Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную
прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно
заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пусть даны две точки М (Х 1 ,У 1) и N (Х 2, y 2). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Так как эта прямая проходит через точку М , то согласно формуле (1.13) ее уравнение имеет вид
У – Y 1 = K (X – x 1),
Где K – неизвестный угловой коэффициент.
Значение этого коэффициента определим из того условия, что искомая прямая проходит через точку N , а значит, ее координаты удовлетворяют уравнению (1.13)
Y 2 – Y 1 = K (X 2 – X 1),
Отсюда можно найти угловой коэффициент этой прямой:
,
Или после преобразования
(1.14)
Формула (1.14) определяет Уравнение прямой, проходящей через две точки М (X 1, Y 1) и N (X 2, Y 2).
В частном случае, когда точки M (A , 0), N (0, B ), А ¹ 0, B ¹ 0, лежат на осях координат, уравнение (1.14) примет более простой вид
Уравнение (1.15) называется Уравнением прямой в отрезках , здесь А и B обозначают отрезки, отсекаемые прямой на осях (рисунок 1.6).
Рисунок 1.6
Пример 1.10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (1, 2) и B (3, –1).
. Согласно (1.14) уравнение искомой прямой имеет вид
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Перенося все члены в левую часть, окончательно получаем искомое уравнение
3X + 2Y – 7 = 0.
Пример 1.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2, 1) и точку пересечения прямых X + Y – 1 = 0, Х – у + 2 = 0.
. Координаты точки пересечения прямых найдем, решив совместно данные уравнения
Если сложить почленно эти уравнения, получим 2X + 1 = 0, откуда . Подставив найденное значение в любое уравнение, найдем значение ординаты У :
Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки (2, 1) и :
или .
Отсюда или –5(Y – 1) = X – 2.
Окончательно получаем уравнение искомой прямой в виде Х + 5Y – 7 = 0.
Пример 1.12. Найти уравнение прямой, проходящей через точки M (2,1) и N (2,3).
Используя формулу (1.14), получим уравнение
Оно не имеет смысла, так как второй знаменатель равен нулю. Из условия задачи видно, что абсциссы обеих точек имеют одно и то же значение. Значит, искомая прямая параллельна оси ОY и ее уравнение имеет вид: x = 2.
Замечание . Если при записи уравнения прямой по формуле (1.14) один из знаменателей окажется равным нулю, то искомое уравнение можно получить, приравняв к нулю соответствующий числитель.
Рассмотрим другие способы задания прямой на плоскости.
1. Пусть ненулевой вектор перпендикулярен данной прямой L , а точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой (рисунок 1.7).
Рисунок 1.7
Обозначим М (X , Y ) произвольную точку на прямой L . Векторы и Ортогональны. Используя условия ортогональности этих векторов, получим или А (X – X 0) + B (Y – Y 0) = 0.
Мы получили уравнение прямой, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору . Этот вектор называется Вектором нормали к прямой L . Полученное уравнение можно переписать в виде
Ах + Ву + С = 0, где С = –(А X 0 + By 0), (1.16),
Где А и В – координаты вектора нормали.
Получим общее уравнение прямой в параметрическом виде.
2. Прямую на плоскости можно задать так: пусть ненулевой вектор параллелен данной прямой L и точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой. Вновь возьмем произвольную точку М (Х , y) на прямой (рисунок 1.8).
Рисунок 1.8
Векторы и коллинеарны.
Запишем условие коллинеарности этих векторов: , где T – произвольное число, называемое параметром. Распишем это равенство в координатах:
Эти уравнения называются Параметрическими уравнениями Прямой . Исключим из этих уравнений параметр T :
Эти уравнения иначе можно записать в виде
. (1.18)
Полученное уравнение называют Каноническим уравнением прямой . Вектор называют Направляющим вектором прямой .
Замечание . Легко видеть, что если – вектор нормали к прямой L , то ее направляющим вектором может быть вектор , так как , т. е. .
Пример 1.13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 0(1, 1) параллельно прямой 3Х + 2У – 8 = 0.
Решение . Вектор является вектором нормали к заданной и искомой прямым. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку M 0 с заданным вектором нормали 3(Х –1) + 2(У – 1) = 0 или 3Х + 2у – 5 = 0. Получили уравнение искомой прямой.
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,
y - y 1 = k (x - x 1). (1)
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.
2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле
3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y = k 1 x + B 1 ,
Фотографии Антона Дергачева (кроме первой), комментарий Владимира Дергачева Идеальная супружеская пара на лебедях, которая вот-вот поцелуются. Фонтан «Супружеская или Брачная карусель» создан по мотивам немецкого средневекового поэта и композитора Ганс
Логопедическое обследование детей с церебральным параличом Логопедическое обследование детей, страдающих церебральным параличом, строится на общем системном подходе, который опирается на представление о речи как о сложной функциональной системе, структ
Александр Гущин За вкус не ручаюсь, а горячо будет:) Содержание Яркая, красивая ягода вишня содержит в себе огромное количество полезных микроэлементов и витаминов. Ее универсальность в кулинарии позволяет приготовить массу хороших, вкусных, уникаль
Ни одна кастрюля в мире не сварит пшенную кашу на молоке так вкусно, как это сделает мультиварка. И ни одна плита не справится с ее приготовлением так быстро, как мультиварка-скороварка. Простой и здоровый завтрак – сладкая пшенная каша на молоке, сдобрен
Название: Рыцарь пентаклей, Рыцарь денариев, Рыцарь монет, Воин монет, Рыцарь бубен, Путешественник, Завоеватель Дел, Всадник, Кавалер, Полезный человек, Повелитель Земель Диких и Плодородных. Значение по Папюсу: Выгода, Прибыль, Польза, Интерес. Важное
Томный август у многих Тельцов станет благоприятным временем для развития личных отношений. В этот период у представителей данного знака Зодиака возникает возможность использовать на полную катушку свое природное обаяние для успеха в сердечных делах. Чтоб