Евклид и его начала.

В течение 2-х тысяч лет геометрию узнавали, либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам этих великих греческих геометров: Архимеда, Аполония- и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX веке.

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказывалось сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V веке н.э. – первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея 1, который царствовал с 306 по 283 г. до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на «Начала». До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столице Птолемея, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию.

Что касается места Евклида в науке, то оно должно определяться не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров, Фалеса и Пифагора, Евдокса и Теэтета. Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвел итог построению геометрии придал изложению столь совершенную форму, что на две тысячи лет «Начала» стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в «Начала» еще две книги написанные другими авторами.

Первая книга начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины, прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они сколько угодно продолженные не пересекаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах, и слово «определение» в современном понимании не точно передает смысл греческого «хорой», которым пользовался Евклид.

В книге 1 рассматриваются основные свойства треугольников, сравниваются их площади. Здесь появляются теоремы о сумме углов треугольников. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколько угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность, все прямые углы равны, если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения или аксиомы, - восемь общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора.

В книге 2 излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.

В книге 3 рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд,в книге 4 – правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах 7-9 изложены начала теории чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге 11 излагаются сначала стереометрия, в 12 –ой книге с помощью места исчерпания определяются соотношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии- теория правильных многогранников. В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров- теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений». Не дошедшую до нас, но ее цитировал в своих сочинениях Архимед.

«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь-нибудь подобные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математики «Начала» изучали и воссоздавали заново. Логическое построение «Начал» аксиоматика Евклида воспринимались математиками как нечто безупречное до 19 века, когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматической евклидовой геометрии- аксиоматикой Д. Гильберта. изложение геометрии в «Началах» считалось следовать ученые и за пределами математики.

Евклида алгоритм.

Алгоритм Евклида- это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток- на вторую. Последний ненулевой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через а и в, положительные остатки, получающиеся в результате делении, через r 1 , r 2 ,…… r n , а неполные частные через g 1, g 2, ………. g n+1,

Можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

a=bg 1 +r 1

b=r 1 g 2 +r 2

r n-2 =r n-1 g n +r n

Для нахождения набольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют ее геометрическим аналогом: меньший отрезок откладывают на большем столько раз, сколько возможно; оставшуюся часть большего отрезка откладывают на меньшем отрезке. Если отрезки а и в соизмеримы, то последний нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2 тыс. лет. Этот алгоритм сформулировал в «Началах» Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида был известен еще пифагорейцам. К середине XVI века алгоритм Евклида был распространен на многочлены от одного переменного.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший общий делитель d чиселa,b.

Единица.

Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.

Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тыс. лет до н.э.

Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводилось особое место: она числом не считалась.

Но уже Ньютон писал: «…. Под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, к тому времени единица уже заняла свое законное место среди других чисел.

Основное свойство, характеризующее число 1, таково: a*1=a.

Это свойство числа 1 переносится и на некоторые другие математические субъекты, для которых определена операция умножения.

Первую Книгу “Начал” открывают многочисленные определения, за которыми следуют пять знаменитых постулатов. Далее, перед тем как начинает доказывать теоремы, он приводит список общих понятий. Первые несколько определений следующие:

Определение 1.1. Точка — это то, часть чего есть ничто.

Определение 1.2. Линия — это длина без ширины.

Определение 1.3. Концы линий — это точки.

Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней.

Постулаты — это конструкции следующего вида:

Можно нарисовать прямую линию, соединяющую одну точку с любой другой.

Общие понятия — это аксиомы, такие как:

Объекты, равные одному и тому же объекту, равны между собой.

Следует отметить определенные моменты.

1. Евклид, кажется, определяет точки два раза (определения 1 и 3) и линией два раза (определения 2 и 4). Это довольно странно.

2. Евклид никогда не использует определения и никогда не ссылается на них в остальной части текста.

3. Некоторые понятия он нигде не определяет. Например, отсутствует определение порядка точек на прямой. Поэтому то, что одна точка расположена между двумя другими, также не определено, но, конечно же, это используется.

4. В пятой Книге “Начал” рассматриваются величины и их пропорциональность. Однако Евклид понятие величины не определяет, и современному читателю кажется, что Евклиду не удалось ввести величины с той строгостью, которой он знаменит.

5. Когда Евклид вводит величины и числа, он дает несколько определений, но не постулатов или общих понятий. Например, можно было бы ожидать от Евклида постулирования, что , и т.д., но он этого не делает.

Когда Евклид вводит числа в седьмой Книге, он дает определение, очень похожее на основные определения в начале первой Книги:

Единица — это то, благодаря чему каждая из вещей, которые существуют, называется одной.

Особенно плодотворно развивались отрасли знаний естественного направления: физика, астрономия, землеведение, тесно связанные с математикой и геометрией. К числу самых прославленных эллинистических геометров и математиков относился знаменитый Евклид.

Биография Евклида известна очень плохо. В молодости он, возможно, обучался в афинской Академии, которая была не только философской, но и математической и астрономической школой (к Академии примыкал Евдокс Книдский). Затем Евклид жил в Александрии при Птолемеях I и II. Так что биография Евклида проходила преимущественно в первой половине III в. до н. э. Живший много веков позднее неоплатоник Прокл рассказывает, что когда Птолемей I спросил Евклида, заглянув в его главный труд, нет ли более короткой дороги к геометрии, то Евклид якобы гордо ответил царю, что науке нет царского пути.

Евклиду принадлежат такие фундаментальные исследования, как «Оптика» и «Диоптрика». В своей оптике Евклид исходил из пифагорейской теории, согласно которой лучи света – прямые линии, простирающиеся от глаза к воспринимаемому предмету.

«Начала» Евклида

Главный труд Евклида – «Начала» (или «Элементы», в оригинале «Стойхейа»). «Начала» Евклида состоят из 13 книг. Позднее к ним были прибавлены еще две книги.

Первые шесть книг «Начал» посвящены геометрии на плоскости – планиметрии. В философско-теоретическом отношении, в плане философии математики особенно интересна первая книга, которая начинается с определений, постулатов и аксиом, учение о которых было заложено Аристотелем.

Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия – длина без ширины. Концы линии – точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.

Статуя Евклида в музее Оксфордского университета

Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы Евклида говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.

Далее, в первой же книге «Начал» Евклида, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга «Начал» содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга «Начал» исследует геометрию круга и окружности, четвертая – многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. В книге VI Евклид прилагает эти теории к планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.

В строгом смысле слова Евклида нельзя считать «отцом геометрии». Свои «Начала» были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. «Начала» были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский... Однако Евклид – не простой передатчик сделанного до него математиками. В «Началах» Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида – вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно «Начала» Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с афинским Парфеноном .

Правда, существовала легенда, что сам Евклид – не единственный автор дошедших до нас «Начал», что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой «Начал». Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. «Начала» Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца XII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского – на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой «Оптикой». Однако затем последовала масса переводов и комментариев на «Начала». Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеции. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем латинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Постулаты Евклида

Из постулатов Евклида видно, что Евклид представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трехмерное. Бесконечность и безграничность пространства предполагается такими постулатами Евклида, как тезисы о том, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть описан круг.

Особенно знаменит пятый постулат Евклида, который буквально звучит так (выше мы дали пересказ): «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Позднее Прокл выразил этот постулат так: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных линий, то она пересечет также и вторую параллельную». Более привычная для нас формула: «Через данную точку можно провести лишь одну параллельную к данной прямой» – принадлежит Джону Плейферу.

Не раз делались попытки доказать пятый постулат Евклида (Птолемей, Насир аль-Дин, Ламберт, Лежандр). Наконец, Карл Гаусс высказал в 1816 г. гипотезу, что этот постулат может быть заменен другим. Эта догадка была реализована в параллельных исследованиях независимо друг от друга Н. И. Лобачевским (1792–1856) и Яношем Больяем (1802–1866). Однако оба эти исследователя (и русский, и венгерский) не получили признания других математиков, особенно тех, кто стоял на позициях кантовского априоризма в понимании пространства, который допускал только одно пространство – евклидово. Только Бернхард Риман (1826–1866) своей теорией многообразий (1854) доказал возможность существования многих видов неевклидовой геометрии. Сам Б. Риман заменил пятый постулат Евклида на постулат, согласно которому вообще нет параллельных линий, а внутренние углы треугольника больше двух прямых. Феликс Клейн (1849–1925) показал соотношение неевклидовых и евклидовой геометрий. Евклидова геометрия относится к поверхностям с нулевой кривизной, геометрия Лобачевского – к поверхностям с положительной кривизной, а геометрия Римана – к поверхности с отрицательной кривизной.

О знаменитом древнегреческом математике Евклиде нам известно достоверно лишь то, что жил он в IV-III веках до н.э. и провел большую часть жизни в Александрии. Совсем немного сведений дают о нём авторы, такие как Архимед, Прокл и Папп Александрийский. Обширную и детализированную биографию Евклида написали также арабские авторы. Одна из арабских рукописей XII века утверждает, что Евклид, известный как «Геометр», был сыном некоего Наукрата, родился в Тире и проживал в Сирии. Но в исторической науке эта биография учёного считается полностью вымышленной. Напротив, упоминание о Евклиде Проклом считается достоверным. В своих «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида» он указывает, что учёный жил во времена Птолемея I Сотера, аргументируя это тем, что «Архимед … упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии». Все выше названные, кроме арабских авторов, упоминают о Евклиде только как об авторе знаменитого сочинения «Начала» - его главного труда, написанного примерно в 300 году до н.э. Известно также, что Евклид был первым математиком Александрийской школы и работал при знаменитой Александрийской библиотеке.

Состоящие из 13 книг на древнегреческом, «Начала» представляют собой первый систематизированный теоретический трактат по математике и геометрии. Они стали своего рода итогом развития всей античной науки, дав огромный толчок последующим исследованиям. С самого появления работы к ней писали комментарии другие учёные, начиная от Прокла и заканчивая арабскими и европейскими авторами Средневековья и Нового времени, среди которых были Галилео Галилей , Рене Декарт , Исаак Ньютон . Некоторые исследователи утверждают, что «Начала» были самой популярной и значимой книгой в Средневековой Европе. Объясняется это тем, что вплоть до XX века изучение «Начал» Евклида было обязательным требованием для студентов всех университетов. Это была самая первая математическая работа, напечатанная после изобретения печатного станка. Первый выпуск в Европе вышел в 1482 году в Венеции.

Начало каждой из 13-ти книг состоит из определений, аксиом и постулатов. Затем идут задачи на построение и теоремы, а после – доказательства этих теорем и решение задач. В своей работе Евклид не ссылается на своих предшественников, а лишь опирается на их результаты. Исследователи установили, что он пользовался работами Гиппократа Хиосского, Евдокс Книдского , Теэтета Афинского и работами разных пифагорейцев.

Первая книга посвящена изучению свойств прямоугольных треугольников и параллелограммов. В ней же рассматривается знаменитая теорема Пифагора , доказательство которой Евклидом стало одним из самых распространенных среди всех доказательств в современной науке. Но самым интересным является 5-ый постулат Евклида, который гласит, что «если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат впоследствии комментировался и исследовался многими учёными, что привело к появлению неевклидовой геометрии в Новом времени. В неевклидовой геометрии пространство представляется искривленным, в отличие от нулевой кривизны пространства классической евклидовой геометрии.

Вторая, третья и четвертая книги основаны на трудах пифагорейцев и раскрывают задачи и теоремы геометрии окружностей, их касательных и хорд, вписанных и описанных многоугольников, построения правильных многоугольников. В пятой книге рассматривается общая теория отношений или теория пропорций величин, которую разработал Евдокс Книдский, дошедшая до нас только в «Началах». В шестой книге на практике применяется теория отношений для доказательства подобия геометрических фигур. На этом заканчивается первая часть «Начал», в которой рассматривались одноплоскостные фигуры.

Седьмая, восьмая и девятая книги посвящены элементарной теории чисел. В них рассматриваются свойства простых чисел, их делимость, пропорции, геометрическая прогрессия и суммы прогрессий, бесконечность простых чисел и строительство совершенных чисел. Также в седьмой книге Евклид предлагает своей алгоритм нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Самая объемная десятая книга представляет собой попытку классификации несоизмеримых (в современном понимании, иррациональных) величин.

Книги с одиннадцатой по тринадцатую – это теория пространственной геометрии или стереометрии. Одиннадцатая воплощает теории первых шести книг в пространстве – перпендикулярность, параллелизм, объемы параллелепипедов. В двенадцатой рассказывается об исследованиях объемов конусов, пирамид и цилиндров. И, наконец, в тринадцатой книге описываются пять правильных многогранников или платоновых тел, вписанных в сферу, и доказывается, что их не может быть больше.

Считается, что свой математический труд Евклид написал, работая в Александрийской библиотеке. Александрийская библиотека представляла собой не просто огромное собрание разнообразных книг и источников, а была местом, где собирались виднейшие представители наук, вели дискуссии, работали над своими трудами и представляли их на всеобщее обозрение. В разное время в ней работали Эратосфен Киренский, Аристофан, Архимед, Птолемей и многие другие. Неудивительно, что Евклид, находясь в такой благоприятной для развития мысли обстановке смог создать действительно уникальное произведение, по величине и значимости соизмеримое с важнейшими открытиями современного мира.

Кроме «Начал» сохранилось всего 4 произведения Евклида: «Явления» (о применении сферической геометрии в астрономии), «Данные» (о построении фигур), «О делении» (применительно к геометрическим фигурам) и «Оптика» (о распространении света). Сохранились косвенные данные о других сочинениях учёного. К тому же традиционно Евклиду приписывают авторство ещё двух произведений – теория зеркал «Катоптрика» и трактат по теории музыки «Деление канона», но установить их авторство не представляется возможным.

Подводя итог, можно говорить о том, что Евклид и его «Начала» имеют действительно огромное значение для науки. Систематизировав и обобщив прошлые достижения математиков, сделав свои открытия, Евклид создал фундаментальный труд, который стал важной частью современной математики и геометрии. И хотя нам практически ничего не известно о том, каким человеком был Евклид, и как проходила его научная деятельность, но результат этой деятельности, несомненно, вызывает восхищение и уважение. Евклид стал своего рода границей в науке, собрав воедино научные достижения прошлого и дав сильный задел для развития исследований будущего. В честь него названы космический летательный аппарат для изучения геометрии темной материи, город в США, алгоритм для получения традиционного музыкального ритма и многие математические открытия более позднего времени.

Реферат

На тему:

Евклид и его “начала”

Выполнил: Гордиенко Павел.

СШ №31

2002.

План.

1. Евклид и его начало.

2. Евклида алгоритм.

1. Евклид и его “Начала”

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из “Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в “неевклидовой геометрий”.

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в н.э., -первый серьёзный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I,который царствовал с 306-283г.до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I, начинавший превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме “Начал” до нас дошли книги Евклида, посвящённые гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора(VI век до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV век до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в “Начало” ещё две книги-XIV- и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линяя есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинакова расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах и слово “определение” в современном понимании не точно передаёт смысл греческого слова “хорой”, которым пользовался Евклид.

В книге Iрассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы,- 8 общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора.

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV-правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теорий чисел, а основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношения площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В “Начало” не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу “Начала конических сечений”, не дошедшую до нас, но её цитировал в своих сочинениях Архимед.

“Начало” Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь- нибудь подробные сведения о “Началах”. В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги “Начал” пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли “улучшениями” позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математике (XVIв.) “Начала” изучали и воссоздавали заново. Логическое построение “Начала”, аксиоматика Евклида воспринимались математиками как безупречное вплоть до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в “Началах” считалось образцом, которому стремились следовать учёные и за пределами математики.

2. Евклида Алгоритм.

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулёвой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через а и б , положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r 1 ,r2

…, rn, а неполные частные через q1 , q2, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

. . . . . . . . . .

Приведём пример. Пусть а=777, b=629. Тогда 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4.

Последний ненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньше отрезок откладывают на большим столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за остаток отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки a и b соизмеримы, то последний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность не нулевых остатков будет бесконечной.

Рассмотрим пример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону AB и AC равнобедренного треугольника ABC, у которого A=C = 72°, B= 36°. В качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD-биссектриса угла C), и, как легко видеть, последовательность и нулевых остатков будет бесконечной. Значит, отрезки ABи AC не соизмеримы.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в “Началах” Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен ещё пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространён на многочлены, от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектах.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший делитель d чисел a и b в виде d=ax+by (x;y- целые числа), а это позволяет находить решение Диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби. Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

Использованная литература.

Энциклопедический словарь юного математика.