Четные квадраты строить намного сложнее, чем нечетные. Существует множество способов, объясняющих принципы их построения. В этой статье описан увлекательный способ построения магического квадрата 4 х 4.

Начинаем с того, что в крайнюю левую ячейку верхнего ряда вписываем единицу. Двойка располагается в соседней ячейке, а цифры 3 и 4 в последующих. Таким обратом, верхний ряд будет закончен. В следующем ряду вписываются цифры 5, 6, 7 и 8.

Продолжайте, пока не заполните все ячейки (рис. 1).

Рис.1

Затем во всех крайних рядах нужно убрать по два числа из центральных ячеек, то есть и верхнем ряду убираются числа 2 и 3, а в нижнем - 14 и 15. Наконец, в левом крайнем ряду убираются числа 5 и 9, а в правом крайнем - 8 и 12 (рис. 2).

Рис.2

Теперь эти числа можно расположить довольно интересным способом. Числа 2 и 3 занимают ячейки, в которых до этого находились числа 14 и 15. Таким образом, нижний ряд будет состоять из чисел 13,3,2 и 16. По тому же принципу располагаются и числа 14 и 15, то есть они занимают те ячейки, в которых до этого находились числа 2 и 3. В результате верхний ряд будет состоять из чисел 1,15,14 и 4. Надеюсь, вы уже понимаете, как магический квадрат будет строиться дальше. Числа 8 и 12 займут те ячейки, в которых до этого были числа 5 и 9. Наконец, числа 5 и 9 вписываются в две ячейки в крайней правой колонке (рис. 3).

Рис.3

Обратите внимание, что в этом магическом квадрате сумма чисел любого ряда равняется 34.

Таким же способом можно создать квадрат 4*4, просто последовательно расположив шестнадцать чисел, начиная с любого числа. Если построите магический квадрат, где числа будут идти в последовательности 3, 6, 9, 12 и т. д., то вы увидите, что сумма чисел любого ряда будет равняться 102.

Существует множество способов построения четных магических квадратов. Некоторые из них очень сложны, трудоемки и интересны только математикам. К счастью, способ создания магических квадратов янтры, основанный на дате рождения, прост до невозможности.

Магический квадрат - древнекитайского происхождения.

Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис.а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рисунке б.

В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература.

Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления. Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n і 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка - S = 34, 5-го порядка - S = 65.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рисунке).

Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен , хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка.

Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Метод Ф. де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рисунке показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка.

В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис.б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n, то можно построить квадрат порядка mґn. Суть этого способа показана на рисунке.

Здесь m = 3 и n = 3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1ў (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2ў (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3ў - квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты называются составными.

Задачи:

1. Научить заполнять магические квадраты.

2. Развивать наблюдательность, умение обобщать.

3. Прививать стремление к познанию нового, интерес к математике.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор с экраном, презентация PowerPoint (Приложение 1).

В давние времена, научившись считать и выполнять арифметические действия, люди с удивление обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную. Складывая различные числа, располагая их друг за другом или одно под другим, они иногда получали одинаковую сумму. Наконец, разделив числа линиями так, чтобы каждое оказалось в отдельной клетке, увидели квадрат, любое из чисел которого принимало участие в двух суммах, а те, что расположены вдоль диагоналей – даже в трех, и все суммы равны между собой! Недаром древние китайцы, индусы, а вслед за ними и арабы приписывали таким конструкциям таинственные и магические свойства. (слайд 1)

Магические квадраты появились на Древнем Востоке еще до нашей эры. Одна из сохранившихся легенд повествует о том, что когда император Ю из династии Шан (2000 г до н.э.) стоял на берегу Ло, притоке Желтой реки, вдруг появилась большая рыба (в других вариантах – огромная черепаха), у которой на спине был рисунок из двух мистических символов – черных и белых кружочков (слайд 2) , который был осознан затем как изображение магического квадрата порядка 3. (слайд 3)

Первое специальное упоминание о таком квадрате найдено около 1 века до н.э. Вплоть до 10 века н.э. магические квадраты были воплощены в амулетах, заклинаниях. Они использовались в качестве талисманов по всей Индии. Их рисовали на кувшинах удачи, медицинских кружках. До сих пор они используются у некоторых восточных народов как талисман. Их можно встретить на палубах больших пассажирских судов как площадку для игры.

Итак, под магическими будем понимать квадраты, в которых суммы чисел, стоящих в любом столбце или в любой строке, а также по диагоналям, одинаковы.

До сих пор вы использовали магические квадраты чаще всего для устного счета. При этом несколько чисел, в том числе и центральное, уже расставлены по клеткам квадрата. Требуется расставить остальные числа так, чтобы в любом направлении получилась определенная сумма.

Задача 1. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Часть из них расставлена по клеткам Требуется расставить остальные числа, чтобы в сумме получалось 15. (слайд 4)

Оказывается, все другие магические квадраты, составленные из этих же чисел, можно получить из данного симметрией относительно строки, столбца или диагонали, поэтому во всех квадратах числа расставлены по одним и тем же правилам. (слайд 6)

Можно заметить ряд закономерностей, облегчающих заполнение клеток квадрата или дающих возможность решить задачу при меньшем числе данных в условии.

Например, в условиях задач, подобных предыдущей, не обязательно указывать, какая сумма должна получиться в любом направлении.

Задача 2. Найдите способ, как сосчитать сумму по строчкам, столбцам и диагоналям из предыдущей задачи.

Можно рассуждать следующим образом: сумма чисел в каждой строке одинакова, таких строк 3, значит сумма чисел в каждой строке в три раза меньше суммы всех чисел. Следовательно, в нашем примере, сумма в каждой строке равна 15 (45: 3). Но это число можно найти и другими способами: сложить три центральных числа 4, 5 и 6 или умножить центральное число 5 на 3.

Задача 3. Даны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Требуется вписать их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении в сумме получилось одно и то же число. Часть чисел уже вписана в квадрат. (слайд 7)

Задача 4. Даны числа 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Два их них вписаны в клетки квадрата. Впишите остальные так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число. (слайд 9)

Посмотрим на все три заполненных квадрата и попробуем найти еще ряд закономерностей, которые помогут заполнить квадрат еще с меньшим чисел, вписанных в квадрат. (слайд 11)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Посмотрите, какое число стоит в центре квадрата? Как оно расположено в ряду данных чисел? (слайд 12 ) (В центре квадрата всегда записывается число, стоящее на пятом месте нашей последовательности, т. е. одинаково удаленное с левого и правого ее краев.)

Можно заметить еще ряд особенностей: в квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности. Покажем пары соответствующих чисел на примере заполнения квадрата числами от 1 до 9: (слайд 13)

Зная это, можно заполнить квадрат, почти не считая.

Посмотрите, как расположены в квадрате числа, стоящие рядом с центральным, а также числа, записанные от них через одно число. Они соединены линиями сверху. (Они расположены по диагоналям квадрата.) А где расположены остальные числа, которые соединены линиями снизу? (Они расположены по вертикали и по горизонтали.)

Давайте проверим, выполняются ли такие закономерности в других квадратах. (слайд 14)

(Да, такие закономерности выполняются.)

Итак, давайте подведем итог. Какие свойства магических квадратов мы выяснили?

1) Чтобы найти сумму чисел в каждом столбце или строке, можно центральное число умножить на 3.

2) В центре квадрата стоит число, записанное в ряду пятым.

3) В квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности.

4) Числа, стоящие рядом с центральным и через одно от него, расположены по диагоналям квадрата. Числа, стоящие с краю и через одно от него, расположены в квадрате по вертикали и по горизонтали.

Задача 5. Даны числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось одно и то же число. (слайд 15)

(Найдем, какая сумма должна получаться в каждом направлении. Для этого умножим центральное число 7 на 3. В результате получим 21. В центр квадрата поставим число 7, по одной диагонали числа 6 и 8, по другой – 4 и 10. Осталось расставить недостающие числа: сумма записанных в первой строке чисел равна 10, до 21 недостает 11, значит, в пустой клетке верхней строки запишем число 11 (первое справа). Тогда в нижней строке запишем число 3 (первое слева). В левый столбик запишем число 5 (21 – (6 + 10)), тогда в правом столбике останется записать число 9. Таким образом, мы расставили все 9 чисел в клетки магического квадрата, при этом ни одно число по условию задачи в квадрате не было поставлено.)

Задача имеет несколько решений, но все квадраты получаются из других симметрией относительно средних линий или диагонали. (слайд 16)

Задача 6. Даны числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число.

Один из вариантов решения на слайде. (слайд 17)

Задача 7. Сравните условие задач 1 и 6 и подумайте, как можно было решить задачу, зная решение задачи 1.

(Числа из задачи 6 в два раза больше соответствующих чисел задачи 1. Поэтому можно каждое число квадрата из задачи 1 просто удвоить и получить искомый квадрат.)

Существуют различные способы построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который придумали древние китайцы. Следуя этому методу надо «естественный» числовой квадрат повернуть относительно центра на половину прямого угла (слайд 19) и отделить квадратной рамкой таблицу 3´3. (слайд 20) Числами, записанными вне рамки, и образующими выступы («террасы»), заполняем пустые клетки у противоположной стороны таблицы. (слайд 21)

Аналогично можно построить любой квадрат нечетного порядка. Заполним клетки магического квадрата 5´5 числами от 1 до 25. (слайды 22, 23, 24)

Для построения магического квадрата 4´4 наиболее простым и доступным является следующий метод: в «естественном» квадрате меняются местами дополнительные числа на главных диагоналях, а остальные остаются без изменения. (слайды 25, 26)

Подведение итогов занятия

Какую тайну магических квадратов вы открыли сегодня на занятии? Что вам в этом помогло?

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Родиной магических квадратов считают Китай. В Китае существует учение Фэн-шуй, согласно которому цвет, форма и физическое расположение каждого элемента в пространстве влияет на поток Ци, замедляя его, перенаправляя его или ускоряя его, что напрямую влияет на уровень энергии жителей. Для познания тайн мира боги послали императору Ю (Yu) древнейший символ, квадрат Ло Шу (Ло – река).

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ

Легенда гласит, что около четырех тысяч лет назад из бурных вод реки Ло вышла большая черепаха Шу. Люди, приносящие жертвы реке, увидели черепаху и сразу признали ее божеством. Соображения древних мудрецов показались императору Ю настолько резонными, что он приказал увековечить изображение черепахи на бумаге и скрепил его своей императорской печатью. А иначе как бы мы об этом событии узнали?

Эта черепаха на самом деле была особенной, потому что на ее панцире был нанесен странный узор из точек. Точки были нанесены упорядоченно, это привело древних философов к мысли о том, что квадрат с числами на панцире черепахи служит моделью пространства – картой мира, составленной мифическим основателем китайской цивилизации Хуан-ди. В самом деле, сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям квадрата одинакова M=15 и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года.

Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т.е. десяти.

Четные числа (символы Земли) Ло Шу были нанесены на теле черепахи в виде черных точек, или Инь символов, а нечетные числа (символы Неба) – в виде белых точек, или Ян символов. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Не исключено, что современное изображение цифры 5, размещенной в центре композиции, обязано китайскому символу двуединственности Ян и Инь.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ИЗ КХАДЖУРАХО

Восточная комната

Магия Джозефа Редьярда Киплинга, создавшего образы Маугли, Багиры, Балу, Шер-Хана и, конечно, Табаки, началась накануне двадцатого века. За полстолетия до этого, в феврале 1838, года молодой британский офицер бенгальских инженерных войск Т.С. Берт, заинтересованный разговором слуг, несших его паланкин, отклонился от маршрута и наткнулся на древние храмы в джунглях Индии.

На ступенях храма Вишванатха офицер нашел надпись, свидетельствующую о древности сооружений. Спустя короткое время энергичный генерал-майор А. Каннингем начертил подробные планы Кхаджурахо. Были начаты раскопки, увенчавшиеся сенсационным открытием 22 храмов. Возвели храмы махараджи их династии Чанделов. После распада их царства джунгли поглотили постройки на тысячу лет. Найденный среди изображений обнаженных богов и богинь квадрат четвертого порядка поражал воображение.

Мало того, что у этого квадрата суммы по строкам, столбцам и диагоналям совпадали и равнялись 34. Они совпадали также по ломанным диагоналям, образующимся при сворачивании квадрата в тор, причем в обоих направлениях. За подобное колдовство цифр такие квадраты называют «дьявольскими» (или «пандиагональными», или «насик»).

Безусловно, это свидетельствовало о необычных математических способностях их создателей, превосходящих колонизаторов. Что неизбежно почувствовали люди в белых пробковых шлемах.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Знаменитый немецкий художник начала XVI века Альбрехт Дюрер составил первый в европейском искусстве магический квадрат 4х4. Сумма чисел в любой строке, столбце, диагонали, а также, что удивительно, в каждой четверти (даже в центральном квадрате) и даже сумма угловых чисел равна 34. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). В средних квадратах первого столбика внесены исправления – цифры деформированы.

В картине с оккультной крылатой мышью Сатурном магический квадрат сложен крылатым разумом Юпитером, которые друг другу противостоят. Квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17. Если сложить четыре числа, полученные ходом шахматного коня – будет 34. Воистину этот квадрат своей безупречной упорядоченностью отражает меланхолию, охватившую художника.

Утренний сон.

Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов автора.

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

В середине XVI в. в Европе появились сочинения, в которых в качестве объектов математического исследования предстали магические квадраты. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, основоположников современной науки, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.

Магический , или волшебный квадрат – это квадратная таблица, заполненная n 2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Определение условное, поскольку древние придавали также значение, например, цвету.

Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n 2 . Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n = 2 , хотя случай n = 1 тривиален – квадрат состоит из одного числа.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

M = n (n 2 + 1) /2

Первые значения магических констант приведены в таблице

Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным , если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n 2 + 1 .

Существует только один нормальный квадрат третьего порядка. Его знали многие народы. Расположение чисел в квадрате Ло Шу сходно с символическими обозначениями духов в каббале и знаками индейской астрологии.

Известен также как квадрат Сатурна. Некоторые тайные общества в Средние века видели в нем "каббалу девяти палат". Несомненно, оттенок за­претного волшебства много значил для сбережения его изображений.

Он был важен в средневековой ну­мерологии, часто использовался как амулет или средство для гадания. Каждая ячейка его отвечает мистической букве или иному символу. Прочитанные вме­сте вдоль определенной линии, эти знаки передавали ок­культные сообщения. Цифры, составляющие дату рождения, расставлялись в ячейках квадрата и затем расшифровывались в зависимости от значения и местоположения цифр.

Среди пандиагональных, как их именуют еще, дьявольских магических квадратов выделяют симметричные – идеальные. Дьявольский квадрат остается дьявольским, если производить его поворот, отражение, перестановку строки сверху вниз и наоборот, зачеркивание столбца справа или слева с приписыванием его с противоположной стороне. Всего выделяют пять преобразований, схема последнего приведена на рисунке

Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остается только три существенно различных дьявольских квадрата 4×4:

Клод Ф. Брэгдон, известный американский архитектор, обнаружил, что, соединив одну за другой клетки только с четными или только с нечетными числами магических квадратов ломаной, мы в большинстве случаев получим изящный узор. Придуманный им узор для вентиляционной решетки в потолке Торговой палаты в Рочестере (штат Нью-Йорк), где он жил, построен из магической ломаной талисмана Ло-Шу. Брэгдон использовал «магические линии» как образцы рисунков для тканей, книжных обложек, архитектурных украшений и декоративных заставок.

Если из одинаковых дьявольских квадратов выложить мозаику (каждый квадрат должен вплотную примыкать к своим соседям), то получится нечто вроде паркета, в котором числа, стоящие в любой группе клеток 4х4, будут образовывать дьявольский квадрат. Числа в четырех клетках, следующих последовательно одна за другой, как бы они ни были расположены – по вертикали, по горизонтали или по диагонали, – в сумме всегда дают постоянную квадрата. Современные математики называют подобные квадраты «совершенными».

ЛАТИНСКИЙ КВАДРАТ

Латинский квадрат – разновидность неправильных математических квадратов, заполненная n различными символами таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n символов (каждый по одному разу).

Латинские квадраты существуют для любого n. Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы. Название «латинский квадрат» берет начало от Леонарда Эйлера, который использовал латинские буквы вместо цифр в таблице.

Два латинских квадрата называются ортогональными , если различны все упорядоченные пары символов (a,b), где a – символ в некоторой клетке первого латинского квадрата, а b – символ в той же клетке второго латинского квадрата.

Ортогональные латинские квадраты существуют для любого порядка, кроме 2 и 6. Для n являющихся степенью простого числа есть набор n–1 попарно ортогональных латинских квадратов. Если в каждой диагонали латинского квадрата все элементы различны, такой латинский квадрат называется диагональным . Пары ортогональных диагональных латинских квадратов существуют для всех порядков, кроме 2, 3 и 6. Латинский квадрат часто встречается в задачах составления расписания, поскольку в строках и столбцах числа не повторяются.

Квадрат из пар элементов двух ортогональных латинских квадратов называется греко-латинский квадратом . Подобные квадраты часто используются для построения магических квадратов и в усложненных задачах о составлении расписания.

Занимаясь греко-латинскими квадратами Эйлер доказал, что квадратов второго порядка не существует, зато были найдены квадраты 3, 4, и 5 порядков. Ни одного квадрата 6 порядка он не нашел. Им была высказана гипотеза, что не существует квадратов четных порядков, не делящееся на 4 (то есть 6, 10, 14 и т. д.). В 1901 Гастон Терри перебором подтвердил гипотезу для 6 порядка. Но в 1959 году гипотеза была опровергнута Э. Т. Паркером, Р. К. Боусом и С. С. Шрикхердом, обнаружившими греко-латинский квадрат порядка 10.

ПОЛИМИНО АРТУРА КЛАРКА

Полимино – по сложности его, безусловно, относится к категории труднейших математических квадратов. Вот как о нем пишет писатель-фантаст А. Кларк – ниже размещен отрывок из книги "Земная Империя". Очевидно, что Кларк, проживая на своем острове, он жил на Цейлоне – и его философия отрыва от социума интересна сама по себе, увлекся развлечением, которому учит бабушка мальчика, и передал его нам. Предпочтем это живое описание имеющимся систематизациям, которые передают, возможно, суть, но не дух игры.

– Ты уже достаточно большой мальчик, Дункан, и сумеешь понять эту игру… впрочем, она куда больше, чем игра. Вопреки словам бабушки, игра не впечатлила Дункана. Ну что можно сделать из пяти белых пластмассовых квадратиков?

– Прежде всего,– продолжала бабушка,– тебе нужно проверить, сколько различных узоров ты сумеешь сложить из квадратиков.

– А они при этом должны лежать на столе? – спросил Дункан.

– Да, они должны лежать, соприкасаясь. Перекрывать один квадратик другим нельзя.

Дункан принялся раскладывать квадратики.

– Ну, я могу выложить их все в прямую линию,– начал он.– Вот так… А потом могу переложить две штуки и получить букву L… А если я возьмусь за другой край, то получится буква U…

Мальчик быстро составил полдюжины сочетаний, потом еще и вдруг обнаружил, что они повторяют уже имеющиеся.

– Может, я тупой, но это все.

Дункан упустил самую простую из фигур – крест, для создания которой достаточно было выложить четыре квадратика по сторонам пятого, центрального.

– Большинство людей начинают как раз с креста,– улыбнулась бабушка.– По-моему, ты поторопился объявить себя тупым. Лучше подумай: могут ли быть еще какие-нибудь фигуры?

Сосредоточенно двигая квадратики, Дункан нашел еще три фигуры, после чего прекратил поиски.

– Теперь уже точно все, – уверенно заявил он.

– А что ты скажешь про такую фигуру?

Слегка передвинув квадратики, бабушка сложила из них подобие горбатой буквы F.

– И вот еще одна.

Дункан чувствовал себя последним идиотом, и бабушкины слова легли бальзамом на его смущенную душу:

– Ты просто молодец. Подумаешь, упустил всего две фигуры. А общее число фигур равно двенадцати. Не больше и не меньше. Теперь ты знаешь их все. Ищи хоть целую вечность – больше не найдешь ни одной.

Бабушка смела в угол пять белых квадратиков и выложила на стол дюжину ярких разноцветных пластиковых кусочков. Это были те самые двенадцать фигур, но уже в готовом виде, и каждая состояла из пяти квадратиков. Дункан уже был готов согласиться, что никаких других фигур действительно не существует.

Но раз бабушка выложила эти разноцветные полоски, значит, игра продолжается, и Дункана ждал еще один сюрприз.

– А теперь, Дункан, слушай внимательно. Эти фигуры называются «пентамино». Название произошло от греческого слова «пента», что значит «пять». Все фигуры равны по площади, поскольку каждая состоит из пяти одинаковых квадратиков. Фигур двенадцать, квадратиков – пять, следовательно, общая площадь будет равняться шестидесяти квадратикам. Правильно?

– Мм…да.

– Слушай дальше. Шестьдесят – замечательное круглое число, которое можно составить несколькими способами. Самый легкий – умножить десять на шесть. Такую площадь имеет эта коробочка: по горизонтали в ней умещается десять квадратиков, а по вертикали – шесть. Стало быть, в ней должны уместиться все двенадцать фигур. Просто, как составная картинка-загадка.

Дункан ожидал подвоха. Бабушка обожала словесные и математические парадоксы, и далеко не все они были понятии ее десятилетней жертве. Но на сей раз обошлось без парадоксов. Дно коробки было расчерчено на шестьдесят квадратиков, значит… Стоп! Площадь площадью, но ведь фигуры имеют разные очертания. Попробуй-ка загони их в коробку!

– Оставляю тебе эту задачу для самостоятельного решения,– объявила бабушка, видя, как он уныло двигает пентамино по дну коробки.– Поверь мне, их можно собрать.

Вскоре Дункан начал крепко сомневаться в бабушкиных словах. Ему с легкостью удавалось уложить в коробку десять фигур, а один раз он ухитрился втиснуть и одиннадцатую. Но очертания незаполненного пространства не совпадали с очертаниями двенадцатой фигуры, которую мальчик вертел в руках. Там был крест, а оставшаяся фигура напоминала букву Z…

Еще через полчаса Дункан уже находился на грани отчаяния. Бабушка погрузилась в диалог со своим компьютером, но время от времени заинтересованно поглядывала на него, словно говоря: «Это не так легко, как ты думал».

В свои десять лет Дункан отличался заметным упрямством. Большинство его сверстников давным-давно оставили бы всякие попытки. (Только через несколько лет он понял, что бабушка изящно проводила с ним психологический тест.) Дункан продержался без посторонней помощи почти сорок минут…

Тогда бабушка встала от компьютера и склонилась над головоломкой. Ее пальцы передвинули фигуры U, X и L…

Дно коробки оказалось целиком заполненным! Все куски головоломки заняли нужные места.

– Конечно, ты заранее знала ответ! – обиженно протянул Дункан.

– Ответ? – переспросила бабушка.– А как ты думаешь, сколькими способами можно уложить пентамино в эту коробку?

Вот она, ловушка. Дункан провозился почти час, так и не найдя решения, хотя за это время он перепробовал не меньше сотни вариантов. Он думал, что существует всего один способ. А их может быть… двенадцать? Или больше?

– Так сколько, по-твоему, может быть способов? – снова спросила бабушка.

– Двадцать,– выпалил Дункан, думая, что уж теперь бабушка не будет возражать.

– Попробуй снова.

Дункан почуял опасность. Забава оказалась куда хитрее, чем он думал, и мальчик благоразумно решил не рисковать.

– Вообще-то, я не знаю,– сказал он, мотая головой.

– А ты восприимчивый мальчик,– снова улыбнулась бабушка.– Интуиция – опасный проводник, но порою другого у нас нет. Могу тебя обрадовать: угадать правильный ответ здесь невозможно. Существует более двух тысяч различных способов укладки пентамино в эту коробку. Точнее, две тысячи триста тридцать девять. И что ты на это скажешь?

Вряд ли бабушка его обманывала. Но Дункан был настолько раздавлен своей неспособностью найти решение, что не удержался и выпалил:

– Не верю!

Элен редко выказывала раздражение. Когда Дункан чем-то обижал ее, она просто становилась холодной и отрешенной. Однако сейчас бабушка лишь усмехнулась и что-то выстучала на клавиатуре компьютера.

– Взгляни сюда,– предложила она.

На экране появился набор из двенадцати разноцветных пентамино, заполняющих прямоугольник размером десять на шесть. Через несколько секунд его сменило другое изображение, где фигуры, скорее всего, располагались уже по-другому (точно сказать Дункан не мог, поскольку не запомнил первую комбинацию). Вскоре изображение опять поменялось, потом еще и еще… Так продолжалось, пока бабушка не остановила программу.

– Даже при большой скорости компьютеру понадобится пять часов, чтобы перебрать все способы,– пояснила бабушка.– Можешь поверить мне на слово: все они разные. Если бы не компьютеры, сомневаюсь, что люди нашли бы все способы обычным перебором вариантов.

Дункан долго глядел на двенадцать обманчиво простых фигур. Он медленно переваривал бабушкины слова. Это было первое в его жизни математическое откровение. То, что он так опрометчиво посчитал обыкновенной детской игрой, вдруг стало разворачивать перед ним бесконечные тропинки и горизонты, хотя даже самый одаренный десятилетний ребенок вряд ли сумел бы ощутить безграничность этой вселенной.

Но тогда восторг и благоговение Дункана были пассивными. Настоящий взрыв интеллектуального наслаждения случился позже, когда он самостоятельно отыскал свой первый способ укладки пентамино. Несколько недель Дункан везде таскал с собой пластмассовую коробочку. Все свободное время он тратил только на пентамино. Фигуры превратитесь в личных друзей Дункана. Он называл их по буквам, которые те напоминали, хотя в ряде случае сходство было более чем отдаленным. Пять фигур – F, I, L, Р, N шли вразнобой, зaто остальные семь повторяли последовательность латинского алфавита: Т, U, V, W, X, Y, Z.

Однажды, в состоянии не то геометрического транса, не то геометрического экстаза, который больше не повторялся, Дункан менее чем за час нашел пять вариантов укладки. Возможно, даже Ньютон, Эйнштейн или Чэнь-цзы в свои моменты истины не ощущали большего родства с богами математики, чем Дункан Макензи.

Вскоре он сообразил, причем сам, без бабушкиных подсказок, что пентамино можно уложить в прямоугольник с другими размерами сторон. Довольно легко Дункан нашел несколько вариантов для прямоугольников 5 на 12 и 4 на 15. Затем он целую неделю мучился, пытаясь загнать двенадцать фигур в более длинный и узкий прямоугольник 3 на 20. Снова и снова он начинал заполнять коварное пространство и… получат дыры в прямоугольнике и «лишние» фигуры.

Сокрушенный, Дункан наведался к бабушке, где его ждал новый сюрприз.

– Я рада твоим опытам,– сказала Элен.– Ты исследовал все возможности, пытаясь вывести общую закономерность. Так всегда поступают математики. Но ты ошибаешься: решения для прямоугольника три на двадцать все-таки существуют. Их всего два, и если ты найдешь одно, то сумеешь отыскать и второе.

Окрыленный бабушкиной похвалой, Дункан с новыми силами продолжил «охоту на пентамино». Еще через неделю он начал понимать, какой непосильный груз взвалил на свои плечи. Количество способов, которым можно расположить двенадцать фигур, просто ошеломляло Дункана. Более того, ведь каждая фигура имела четыре положения!

И вновь он явился к бабушке, выложив ей все свои затруднения. Если для прямоугольника 3 на 20 существовало только два варианта, сколько же времени понадобится, чтобы их найти?

– Изволь, я тебе отвечу,– сказала бабушка.– Если бы ты действовал как безмозглый компьютер, занимаясь простым перебором комбинаций и тратя на каждую по одной секунде, тебе понадобилось бы…– Здесь она намеренно сделала паузу.– Тебе понадобилось бы более шести миллионов… да, более шести миллионов лет.

Земных или титанских? Этот вопрос мгновенно возник в мозгу Дункана. Впрочем, какая разница?

– Но ты отличаешься от безмозглого компьютера,– продолжала бабушка.– Ты сразу видишь заведомо непригодные комбинации, и потому тебе не надо тратить время на их проверку. Попробуй еще раз.

Дункан повиновался, уже без энтузиазма и веры в успех. А потом ему в голову пришла блестящая идея.

Карл сразу же заинтересовался пентамино и принял вызов. Он взял у Дункана коробочку с фигурами и исчез на несколько часов.

Когда Карл позвонил ему, вид у друга был несколько расстроенный.

– А ты уверен, что эта задача действительно имеет решение? – спросил он.

– Абсолютно уверен. Их целых два. Неужели ты так и не нашел хотя бы одно? Я-то думал, ты здорово соображаешь в математике.

– Представь себе, соображаю, потому и знаю, каких трудов стоит твоя задачка. Нужно проверить… миллион миллиардов возможных комбинаций.

– А откуда ты узнал, что их столько? – спросил Дункан, довольный тем, что хоть чем-то сумел заставить друга растерянно чесать в затылке.

Карл скосил глаза на лист бумаги, заполненный какими-то схемами и цифрами.

– Если исключить недопустимые комбинации и учесть симметрию и возможность поворота… получается факториал… суммарное число перестановок… ты все равно не поймешь. Я тебе лучше покажу само число.

Он поднес к камере другой лист, на котором была крупно изображена внушительная вереница цифр:

1 004 539 160 000 000.

Дункан ничего не смыслил в факториалах, однако в точности подсчетов Карла не сомневался. Длиннющее число ему очень понравилось.

– Так ты собрался бросить эту задачу? – осторожно спросил Дункан.

– Еще чего! Я просто хотел тебе показать, насколько она трудна.

Лицо Карла выражало мрачную решимость. Произнеся эти слова, он отключился.

На следующий день Дункана ожидало одно из величайших потрясений в его мальчишеской жизни. С экрана на него смотрело осунувшееся, с воспаленными глазами, лицо Карла. Чувствовалось, он провел бессонную ночь.

– Ну вот и все,– усталым, но торжествующим голосом возвестил он.

Дункан едва верил своим глазам. Ему казалось, что шансы на успех ничтожно малы. Он даже убедил себя в этом. И вдруг… Перед ним лежал прямоугольник три на двадцать, заполненный всеми двенадцатью фигурами пентамино.

Потом Карл поменял местами и перевернул фигуры на концах, оставив центральную часть нетронутой. От усталости у него слегка дрожали пальцы.

– Это второе решение,– пояснил он.– А теперь я отправляюсь спать. Так что спокойной ночи или доброго утра – это уж как тебе угодно.

Посрамленный Дункан еще долго глядел в погасший экран. Он не знал, какими путями двигался Карл, нащупывая решение головоломки. Но он знал, что его друг вышел победителем. Наперекор всему.

Он не завидовал победе друга. Дункан слишком любил Карла и всегда радовался его успехам, хотя нередко сам оказывался побежденной стороной. Но в сегодняшнем триумфе друга было что-то иное, что-то почти магическое.

Дункан впервые увидел, какой силой обладает интуиция. Он столкнулся с загадочной способностью разума вырываться за пределы фактов и отбрасывать в сторону мешающую логику. За считаные часы Карл выполнил колоссальную работу, превзойдя самый быстродействующий компьютер.

Впоследствии Дункан узнал, что подобными способностями обладают все люди, но используют они их крайне редко – возможно, один раз в жизни. У Карла этот дар получил исключительное развитие… С того момента Дункан стал серьезно относиться к рассуждениям друга, даже самым нелепым и возмутительным с точки зрения здравого смысла.

Это было двадцать лет назад. Дункан не помнил, куда делись пластмассовые фигуры пентамино. Возможно, так и остались у Карла.

Бабушкин подарок стал их новым воплощением, теперь уже в виде кусочков разноцветного камня. Удивительный, нежно-розового оттенка гранит был с холмов Галилея, обсидиан – с плато Гюйгенса, а псевдомрамор – с гряды Гершеля. И среди них… сначала Дункан подумал, что ошибся. Нет, так оно и есть: то был самый редкий и загадочный минерал Титана. Крест каменного пентамино бабушка сделала из титанита. Этот иссиня-черный, с золотистыми вкраплениями минерал не спутаешь ни с чем. Таких крупных кусков Дункан еще не видел и мог только догадываться, какова его стоимость.

– Не знаю, что и сказать,– пробормотал он.– Какая красота. Такое я вижу в первый раз.

Он обнял худенькие бабушкины плечи и вдруг почувствовал, что они дрожат и ей никак не унять эту дрожь. Дункан бережно держал ее в своих объятиях, пока плечи не перестали дрожать. В такие мгновения слова не нужны. Отчетливее, чем прежде, Дункан понимал: он последняя любовь в опустошенной жизни Элен Макензи. И теперь он улетает, оставляя ее наедине с воспоминаниями.

БОЛЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Китайский математик XIII века Ян Хуэй был знаком с треугольником Паскаля (арифметическим треугольником). Он оставил изложение методов решения уравнений 4-й и высших степеней, встречаются правила решения полного квадратного уравнения, суммирования прогрессий, приемы построения магических квадратов. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37).

Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16, который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.

Самым ценным в этом квадрате является то, что его довольно просто превратить в идеальный магический квадрат, в то время как построение идеальных магических квадратов – нелегкая задача. Франклин называл этот квадрат "самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворенных чародеями".

Математических загадок существует невообразимое количество. Каждые из них уникальны по-своему, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно нужно приходить к формулам. Конечно же, можно попытаться решить их, как говорится, но это будет очень долго и практически безуспешно.

В данной статье будет говориться об одной из таких загадок, а чтобы быть точнее — о магическом квадрате. Мы детально разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательной программы, конечно, это проходит, но возможно не каждый понял или вовсе не помнит.

Что это за загадка?

Или, как его еще называют, волшебный, — это таблица, в которой число столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными цифрами. Главная задача, чтобы эти цифры в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.

Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический. Он подразумевает то, что сумма чисел одинакова лишь по вертикали и горизонтали. Магический квадрат «нормальный» только в том случае, если для заполнения использовались от единицы.

Еще есть такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, в то время, когда они располагаются симметрично по отношению к центру.

Важно также знать, что квадраты могут быть любой величины помимо 2 на 2. Квадрат 1 на 1 также считается магическим, так как все условия выполняются, хотя и состоит он из одного-единственного числа.

Итак, с определением мы ознакомились, теперь поговорим про то, как решить магический квадрат. 3 класс школьной программы вряд ли все так детально разъяснит, как эта статья.

Какие есть решения

Те люди, которые знают, как решить магический квадрат (3 класс точно знает), сразу же скажут, что решения только три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но все же нельзя обойти стороной и четвертое решение, а именно «наугад». Ведь в какой-то мере есть вероятность того, что незнающий человек все же сможет решить данную задачку. Но данный способ мы отбросим в длинный ящик и перейдем непосредственно к формулам и методикам.

Первый способ. Когда квадрат нечетный

Данный способ подходит только для решения такого квадрата, у которого количество ячеек нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.

Итак, в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется она с помощью формулы:

В данном примере мы рассмотрим квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — число столбцов):

Итак, перед нами квадрат. Первое, что надо сделать — это вписать цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры необходимо располагать на одну клетку правей по диагонали.

Но тут сразу встает вопрос, как решить магический квадрат? 3 класс вряд ли использовал данный метод, да и у большинства появится проблема, как это сделать таким способом, если данной клетки нет? Чтобы сделать все правильно, необходимо включить воображение и дорисовать аналогичный магический квадрат сверху и получится так, что число 2 будет находиться в нем в нижней правой клетке. Значит, и в наш квадрат мы вписываем двойку в то же место. Это означает, что нам необходимо вписать цифры так, чтобы в сумме они давали значение 15.

Последующие цифры вписываются точно так же. То есть 3 будет находиться в центре первого столбца. А вот 4 по такому принципу вписать не удастся, так как на ее месте уже стоит единица. В таком случае цифру 4 располагаем под 3, и продолжаем. Пятерка — в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — под 6, 8 — в верхний левый и 9 — по центру нижней строки.

Вы теперь знаете, как решить магический квадрат. 3 класс Демидова проходил, но у этого автора были чуть попроще задания, однако, зная данный способ, удастся разгадать любую подобную задачу. Но это, если число столбцов нечетное. А что же делать, если у нас, например, квадрат 4 на 4? Об этом дальше по тексту.

Второй способ. Для квадрата двойной четности

Квадратом двойной четности называют тот, у которого количество столбцов можно разделить и на 2, и на 4. Сейчас мы рассмотри квадрат 4 на 4.

Итак, как решить магический квадрат (3 класс, Демидова, Козлова, Тонких - задание в учебнике математики), когда количество его столбцов равно 4? А очень просто. Проще, чем в примере до этого.

В первую очередь находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь надо выстроить цифры так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.

В первую очередь надо закрасить некоторые ячейки, сделать это вы можете карандашом или же в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую клеточку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был бы 8 на 8, то закрашивать надо не одну клеточку в углу, а четыре, размером 2 на 2.

Теперь необходимо закрасить центр этого квадрата, так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеточек. В данном примере у нас получится квадрат по центру 2 на 2.

Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только вписывать значение будем в закрашенные клетки. Получается, что в верхний левый угол вписываем 1, в правый — 4. Потом центральный заполняем 6, 7 и дальше 10, 11. Нижний левый 13 и правый — 16. Думаем, порядок заполнения понятен.

Остальные ячейки заполняем точно так же, только в порядке убывания. То есть так как последняя вписанная цифра была 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9 и так далее, как показано на картинке.

Теперь вы знаете второй способ, как решить магический квадрат. 3 класс согласится, что квадрат двойной четности намного легче решается, чем другие. Ну а мы переходим к последнему способу.

Третий способ. Для квадрата одинарной четности

Квадратом одинарной четности называется, тот квадрат, число столбцов которого можно разделить на два, но нельзя на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.

Итак, вычисляем магическую константу. Она равна 111.

Теперь нужно наш квадрат визуально поделить на четыре разных квадрата 3 на 3. Получится четыре маленьких квадрата размером 3 на 3 в одном большом 6 на 6. Верхний левый назовем А, нижний правый — В, верхний правый — С и нижний левый — D.

Теперь необходимо каждый маленький квадрат решить, используя самый первый способ, что приведен в этой статье. Получится так, что в квадрате А будут числа от 1 до 9, в В — от 10 до 18, в С — от 19 до 27 и D — от 28 до 36.

Как только вы решили все четыре квадрата, работа начнется над А и D. Необходимо в квадрате А визуально или при помощи карандаша выделить три ячейки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получится так, что выделенные цифры — это 8, 5 и 4. Точно так же надо выделить и квадрат D (35, 33, 31). Все, что остается сделать, это поменять местами выделенные цифры из квадрата D в А.

Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3 класс квадрат одинарной четности не любит больше всего. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.

Вывод

Прочтя данную статью, вы узнали, как решить магический квадрат. 3 класс (Моро - автор учебника) предлагает подобные задачи только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, вы с легкостью решите и все предлагаемые задачи.