Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):
В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .
Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.
И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .
Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).
Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.
Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)
В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:
Ответ: \(b_5=23\)
Пример (ОГЭ).
Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:
Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\). |
|
Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента. |
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(-3\)
Пример (ОГЭ).
Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:
|
Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\). |
А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(7,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам : \(n=1\); \(a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Искомая сумма найдена. |
Ответ: \(S_6=9\).
Пример (ОГЭ).
В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:
Ответ: \(d=7\).
Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).
Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…
Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.
Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.
Пример.
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:
Ответ: \(b_{246}=1850\).
\(a_n\) – последний суммируемый член;
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\) \(\cdot 25\) |
Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена. |
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять. |
|
\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\) |
Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму. |
|
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{25}=1090\).
Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:
\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.
Пример.
Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:
Ответ: \(S_{33}=-231\).
Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)
Пример (ОГЭ).
Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:
\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\) |
Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\). |
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая. |
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет. |
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Делим обе части неравенства на \(0,3\). |
|
\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) |
Переносим минус единицу, не забывая менять знаки |
|
\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) \(+1\) |
Вычисляем… |
|
\(n>65,333…\) |
…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это. |
|
\(n=65;\) \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов. |
|
\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\)
\(\cdot 65\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{65}=-630,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:
\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\) |
В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать? |
|
Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов. |
\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\)
\(\cdot 42=\) |
Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов. |
\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ну и наконец, вычисляем ответ. |
\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\) |
Ответ: \(S=1683\).
Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .
Девизом нашего урока будут слова русского математика В.П. Ермакова: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления».
Ход урока
Постановка проблемы
На доске - портрет Гаусса. Учитель или ученик, которому заранее было дано задание подготовить сообщение, рассказывает, что когда Гаусс учился в школе, учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.
Вопрос . Как Гаусс получил ответ?
Поиск путей решения
Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1 + 100, 2 + 99 и т.д. равны, Гаусс умножил 101 на 50, то есть на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.
Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии
Записать на доске и в тетрадях тему урока. Ученики вместе с учителем записывают вывод формулы:
Пусть a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n - арифметическая прогрессия.
Первичное закрепление
1. Решим, используя формулу (1), задачу Гаусса:
2. Используя формулу (1), устно решить задачи (их условия записаны на доске или кодопозитиве), (a n ) - арифметическая прогрессия:
а) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?
б) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]
в) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]
г) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?
3. Выполнить задание.
Дано: (a n ) - арифметическая прогрессия;
a 1 = 3, a 60 = 57.
Найти : S 60 .
Решение . Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии
Ответ : 1800.
Дополнительный вопрос. Сколько типов различных задач можно решить по этой формуле?
Ответ . Четыре типа задач:
Найти сумму S n ;
Найти первый член арифметической прогрессии a 1 ;
Найти n -й член арифметической прогрессии a n ;
Найти количество членов арифметической прогрессии.
4. Выполнить задание: № 369(б).
Найдите сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии (a n ), если a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.
Решение .
Ответ : 1230.
Дополнительный вопрос . Запишите формулу n -го члена арифметической прогрессии.
Ответ : a n = a 1 + d (n – 1).
5. Вычислите формулу девяти первых членов арифметической
прогрессии (b n
),
если b
1 = –17, d
=
6.
Можно ли вычислить сразу, используя формулу?
Нет, так как неизвестен девятый член.
Как его найти?
По формуле n -го члена арифметической прогрессии.
Решение . b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;
Ответ : 63.
Вопрос . А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?
Постановка проблемы
Проблема: получить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, зная ее первый член и разность d .
(Вывод формулы у доски учеником. )
Решим № 371(а) по новой формуле (2):
Устно закрепим формулы (2) (условия задач записаны на доске ).
(a n
1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?
2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]
Выяснить у учащихся, какие вопросы непонятны.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Дано : (a n ) - арифметическая прогрессия.1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?
2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?
Вариант 2
Дано : (a n ) - арифметическая прогрессия.
1. a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]
2. a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?
Ученики меняются тетрадями и проверяют решения друг у друга.
Подвести итог усвоения материала по результатам самостоятельной работы.
Начальный уровень
Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:
Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:
Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называется -ным членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .
В нашем случае:
Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна.
Например:
и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается.
Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:
a)
b)
c)
d)
Разобрался? Сравним наши ответы:
Является
арифметической прогрессией - b, c.
Не является
арифметической прогрессией - a, d.
Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения.
1. Способ
Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения:
Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.
2. Способ
А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:
Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии:
Иными словами:
Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.
Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:
Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:
Уравнение арифметической прогрессии. |
Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.
Возрастающие
- прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:
Убывающие
- прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:
Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: Проверим, какое получится -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:
Так как, то:
Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти -ой и -ый члены этой арифметической прогрессии.
Сравним полученные результаты:
Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
- арифметическая прогрессия, найти значение.
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:
Пусть, а, тогда:
Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.
Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
, тогда:
Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:
Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на.
Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно.
Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...
Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…
Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из -ти членов: Нам необходимо найти сумму данных членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ее членов, как это искал Гаусс?
Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.
Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны
А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть.
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна, а подобных равных пар, мы получаем, что общая сумма равна:
.
Таким образом, формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:
В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена.
Что у тебя получилось?
Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го.
Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?
На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени - строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.
Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.
Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?
В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: .
Разность арифметической прогрессии.
Количество членов арифметической прогрессии.
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).
Способ 1.
Способ 2.
А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ - блоков:
Задачи:
Ответы:
Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.
В числах действительно содержится нечетных чисел.
Имеющиеся данные подставим в формулу:
Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.
Ответ: В кладке находится бревен.
Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.
Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.
Число с номером называется -ым членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .
Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула
задает последовательность:
А формула - такую последовательность:
Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность).
Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:
Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда:
Ну что, ясно теперь какая формула?
В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус:
Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:
Реши сам:
В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.
Решение:
Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:
(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).
Итак, формула:
Тогда сотый член равен:
Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?
По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак,
Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:
Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.
Решение:
Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.
Формула -го члена для этой прогрессии:
Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?
Очень легко: .
Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:
Ответ: .
Теперь реши сам:
Ответы:
Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
(км).
Ответ:
Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.
Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().
Например:
записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.
Оно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии.
Существует два способа нахождения суммы:
Где - количество значений.
Где - количество значений.
Фотографии Антона Дергачева (кроме первой), комментарий Владимира Дергачева Идеальная супружеская пара на лебедях, которая вот-вот поцелуются. Фонтан «Супружеская или Брачная карусель» создан по мотивам немецкого средневекового поэта и композитора Ганс
Логопедическое обследование детей с церебральным параличом Логопедическое обследование детей, страдающих церебральным параличом, строится на общем системном подходе, который опирается на представление о речи как о сложной функциональной системе, структ
Александр Гущин За вкус не ручаюсь, а горячо будет:) Содержание Яркая, красивая ягода вишня содержит в себе огромное количество полезных микроэлементов и витаминов. Ее универсальность в кулинарии позволяет приготовить массу хороших, вкусных, уникаль
Ни одна кастрюля в мире не сварит пшенную кашу на молоке так вкусно, как это сделает мультиварка. И ни одна плита не справится с ее приготовлением так быстро, как мультиварка-скороварка. Простой и здоровый завтрак – сладкая пшенная каша на молоке, сдобрен
Название: Рыцарь пентаклей, Рыцарь денариев, Рыцарь монет, Воин монет, Рыцарь бубен, Путешественник, Завоеватель Дел, Всадник, Кавалер, Полезный человек, Повелитель Земель Диких и Плодородных. Значение по Папюсу: Выгода, Прибыль, Польза, Интерес. Важное
Томный август у многих Тельцов станет благоприятным временем для развития личных отношений. В этот период у представителей данного знака Зодиака возникает возможность использовать на полную катушку свое природное обаяние для успеха в сердечных делах. Чтоб